题目内容
【题目】如图所示，在xoy平面内，有一个圆形区域的直径AB与x轴重合，圆心O′的坐标为（2a，0），其半径为a，该区域内无磁场．在y轴和直线x=3a之间的其他区域内存在垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B．一质量为m、电荷量为q的带正电的粒子从y轴上某点射入磁场．不计粒子重力．
（1）若粒子的初速度方向与y轴正向夹角为60°，且粒子不经过圆形区域就能到达B点，求粒子的初速度大小v1；
（2）若粒子的初速度方向与y轴正向夹角为60°，在磁场中运动的时间为
，且粒子也能到达B点，求粒子的初速度大小v2；
（3）若粒子的初速度方向与y轴垂直，且粒子从O′点第一次经过x轴，求粒子的最小初速度vm．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
试题分析：（1）粒子不经过圆形区域就能到达B点，故粒子到达B点时速度竖直向下，圆心必在x轴正半轴上，设粒子做圆周运动的半径为r1，如图1，由几何关系得：r1sin30°=3a﹣r1 （2分）
再利用洛伦兹力提供带电粒子做圆周运动的向心力：
解得粒子的半径为：
（2分）
解得： （1分）
（2）粒子在磁场中的运动周期为：
，故粒子在磁场中的运动轨迹如图2所示的圆心角为为：
（1分）
粒子到达B点的速度与x轴夹角 β=30° （1分）
设粒子做圆周运动的半径为r2，由几何关系得： 3a=2r2sin30°+2acos30°cos30° （1分）
再利用洛伦兹力提供带电粒子做圆周运动的向心力：
解得粒子的半径为：
解得： （1分）
（3）设粒子从C点进入圆形区域，O′C与O′A夹角为θ，轨迹圆对应的半径为r，如图3所示，由几何关系得：2a=rsinθ+acosθ （1分）
故当θ=60°时，半径最小为
（1分）
再利用洛伦兹力提供带电粒子做圆周运动的向心力：
，
解得粒子的半径为：
（1分）
解得： （1分）
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