Question

如图所示，在竖直平面内的轨道，AB段粗糙且绝缘，BC段为半径为R的光滑绝缘圆弧轨道，半径OC竖直．圆心O点处有一带电量为Q的正点电荷．一个质量为m带电量为-q（q＞0）的小球自A点由静止开始下滑，小球沿轨道到达最高点C时恰好对轨道没有压力，小球经过B点时无机械能损失，已知A离地面高度 H=2.5R，AO间距离L=3R，重力加速度为g，静电力常量为k，求：
（1）小球到达C点时速度大小；
（2）小球到达B点时动能大小；
（3）摩擦力对小球做的功（提示：取无穷远处电势为零，离点电荷Q距离为r处的电势为φ=kQ/r ）．

Answer 1

分析：（1）小球到达最高点时对轨道没有压力，由重力和库仑力的合力提供向心力，根据牛顿第二定律列式求解小球到达C点时速度大小；
（2）小球在圆轨道运动过程中，只有重力做功，机械能守恒，据此定律列式，即可求得小球到达B点时动能大小；
（3）根据题中信息：φ=k

Q

r

和能量守恒定律列式，即可求解摩擦力对小球做的功．

解答：解：（1）小球到达最高点时对轨道没有压力，由重力和库仑力的合力提供向心力，根据牛顿第二定律得：
  mg+

kQ q

R2

=

m v 2 c

R

得：vC=

Rg+ kQ q Rm

．
（2）小球在圆轨道运动过程中，只有重力做功，机械能守恒，设B点处为零势能面，由机械能守恒定律得：
    EKB=

1

2

m

v

2 C

+mg?2R
解得：EKB=

5

2

mgR+k

Q q

2R

；
（3）小球在AB段运动过程，由能量守恒可知摩擦力做的功为 W=(EkB -k

Qq

R

)-(mgH-k

Qq

L

)
代入解得：W =-

kQq

6R

；
答：
（1）小球到达C点时速度大小是

Rg+ kQq Rm

；
（2）小球到达B点时动能大小是

5

2

mgR+k

kQq

2R

；
（3）摩擦力对小球做的功为-

kQq

6R

．

点评：本题是力电综合题，基本方法与力学问题相同，关键在于分析临界状态的条件和分析能量转化的情况，运用牛顿第二定律、能量守恒进行分析．