Question

3．“嫦娥三号”在月球表面释放出“玉兔”号月球车开展探测工作，若该月球车在地球表面的重力为G₁，在月球表面的重力为G₂，已知地球半径为R₁，月球半径为R₂，则（　　）

• A． 地球表面与月球表面的重力加速度之比为$\frac{{G}_{1}{R}_{2}^{2}}{{G}_{2}{R}_{1}^{2}}$
• B． 地球的第一宇宙速度与月球的第一宇宙速度之比为$\sqrt{\frac{{G}_{1}{R}_{1}}{{G}_{2}{R}_{2}}}$
• C． 地球与月球的质量之比为$\frac{{G}_{1}{R}_{2}^{2}}{{G}_{2}{R}_{1}^{2}}$
• D． 地球与月球的平均密度之比为$\frac{{G}_{1}{R}_{2}}{{G}_{2}{R}_{1}}$

Answer 1

分析 探测器在月球和地球上质量不变，求出在地球和月球的重力加速度，根据重力等于万有引力求质量，根据公式v=$\sqrt{\frac{GM}{R}}$=$\sqrt{gR}$求第一宇宙速度，根据密度公式求密度．

解答 解：A、地球表面的重力加速度为${g}_{1}^{\;}=\frac{{G}_{1}^{\;}}{m}$，月球表面的重力加速度 ${g}_{2}^{\;}=\frac{{G}_{2}^{\;}}{m}$，地球表面与月球表面的重力加速度之比为$\frac{{g}_{1}^{\;}}{{g}_{2}^{\;}}=\frac{{G}_{1}^{\;}}{{G}_{2}^{\;}}$故A错误．
B、根据第一宇宙速度公式$v=\sqrt{gR}$，得$\frac{{v}_{1}^{\;}}{{v}_{2}^{\;}}=\frac{\sqrt{{g}_{1}^{\;}{R}_{1}^{\;}}}{\sqrt{{g}_{2}^{\;}{R}_{2}^{\;}}}$=$\sqrt{\frac{{G}_{1}^{\;}{R}_{1}^{\;}}{{G}_{2}^{\;}{R}_{2}^{\;}}}$，故B正确．
C、根据$mg=G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}$，得$M=\frac{g{R}_{\;}^{2}}{G}$，地球质量${M}_{1}^{\;}=\frac{{g}_{1}^{\;}{R}_{1}^{2}}{G}$，月球的质量${M}_{2}^{\;}=\frac{{g}_{2}^{\;}{R}_{2}^{2}}{G}$，所以地球与月球质量之比为$\frac{{M}_{1}^{\;}}{{M}_{2}^{\;}}=\frac{{g}_{1}^{\;}{R}_{1}^{2}}{{g}_{2}^{\;}{R}_{2}^{2}}=\frac{{G}_{1}^{\;}{R}_{1}^{2}}{{G}_{2}^{\;}{R}_{2}^{2}}$，故C错误．
D、平均密度$ρ=\frac{M}{V}=\frac{3g}{4πRG}$，得$\frac{{ρ}_{1}^{\;}}{{ρ2}_{\;}^{\;}}=\frac{{g}_{1}^{\;}}{{g}_{2}^{\;}}•\frac{{R}_{2}^{\;}}{{R}_{1}^{\;}}=\frac{{G}_{1}^{\;}}{{G}_{2}^{\;}}\frac{{R}_{2}^{\;}}{{R}_{1}^{\;}}$=$\frac{{G}_{1}^{\;}{R}_{2}^{\;}}{{G}_{2}^{\;}{R}_{1}^{\;}}$，故D正确；
故选：BD

点评 本题考查了万有引力定律在天文学上的应用，解题的基本规律是万有引力提供向心力，在任一星球表面重力等于万有引力，记住第一宇宙速度公式．