Question

11．如图所示，竖直固定的管道内有一个小球，球的直径比管的内径稍小，管内内壁是粗糙的，管内外壁是光滑的，管道的半径为R，R远大于管的内径，小球在管的最低点，现给小球一个向右的初速度，使小球在管道里运动，为了使小球能在管道里越过最高点一直运动下去，小球在最低的初速度至少为（重力加速度为g）（　　）

• A． $\sqrt{2gR}$
• B． $\sqrt{3gR}$
• C． $\sqrt{4gR}$
• D． $\sqrt{5gR}$

Answer 1

分析 小球在最高点，靠重力和管道的弹力提供向心力，若使小球能在管道里越过最高点一直运动下去，则小球不能受到摩擦力的作用，所以管的外侧与小球之间有相互作用，而管的内侧始终与小球没有作用力，根据牛顿第二定律小球弹力和速度的关系．

解答 解：根据题意可知，小球与管的内壁之间始终不能有作用力，所以小球在最高点时，恰好又重力提供向心力时，对应的速度最小，此时：
$mg=\frac{m{v}_{min}^{2}}{\\;R}$
从最高点到最低点的过程中，重力做功，机械能守恒，得：
$mg•2R+\frac{1}{2}m{v}_{min}^{2}=\frac{1}{2}m{v}^{2}$
联立得：
v=$\sqrt{5gR}$
故选：D

点评 解决本题的关键知道小球做圆周运动向心力的来源，运用牛顿第二定律进行求解，该模型与杆模型类似，与绳模型不同．