Question

13．如图所示，同一竖直平面内的光滑轨道，是由一斜直轨道和一段由细圆管弯成的圆形轨道连接而成，斜直轨道的底端与圆形轨道相切．圆形轨道半径为R（细圆管内径远小于R），A是圆形轨道的最低点，B是圆形轨道的最高点，O是圆形轨道的圆心．现有一质量为m的小球从斜直轨道上某处由静止开始下滑，进入细圆管内做圆周运动．忽略机械能损失，重力加速度用g表示．试求：
（1）若小球从距地面高2R处下滑，小球到达A点的速度大小；
（2）若小球到达B点时速度大小为$\sqrt{gR}$，小球下落的高度应是圆形轨道半径的多少倍；
（3）若小球通过圆形轨道最高点B时，对管壁的压力大小为0.5mg，小球下落的高度应是圆形轨道半径R的多少倍．

Answer 1

分析 （1）根据动能定理求出小球到达A点的速度．
（2）对开始到达B过程运用动能定理，求出小球下落的高度是圆形轨道半径的倍数．
（3）根据牛顿第二定律求出最高点的速度，结合动能定理求出下落的高度．

解答 解：（1）根据动能定理得：mg•2R=$\frac{1}{2}m{{v}_{A}}^{2}$-0，
解得：${v}_{A}=\sqrt{4gR}$．
（2）对开始到B点运用动能定理得：$mg（h-2R）=\frac{1}{2}m{{v}_{B}}^{2}-0$，
解得：h=$\frac{5}{2}R$．
（3）若对管壁的压力向下，根据牛顿第二定律得：$mg-N=m\frac{{{v}_{B}}^{2}}{R}$，
N=0.5mg，
解得：${v}_{B}=\sqrt{\frac{gR}{2}}$，
根据动能定理得：$mg（{h}_{1}-2R）=\frac{1}{2}m{{v}_{B}}^{2}$，
解得：${h}_{1}=\frac{9R}{4}$．
若对管壁的压力向上，根据牛顿第二定律得：$N+mg=m\frac{{v}_{B}{′}^{2}}{R}$，
解得：${v}_{B}′=\sqrt{\frac{3gR}{2}}$，
根据动能定理得：$mg（{h}_{2}-2R）=\frac{1}{2}m{v}_{B}{′}^{2}-0$，
解得：h₂=$\frac{11}{4}R$．
答：（1）小球到达A点的速度为$\sqrt{4gR}$；
（2）小球下落的高度应是圆形轨道半径的$\frac{5}{2}$倍；
（3）小球下落的高度应是圆形轨道半径R的$\frac{9}{4}$倍或$\frac{11}{4}$倍．

点评 本题考查了动能定理和牛顿第二定律的综合运用，知道最高点向心力的来源是解决本题的关键，注意第三问中，小球可能对外壁有压力，也可能对内壁有压力．