Question

一倾角θ=30°的足够长的绝缘斜面，P点上方光滑，P点下方粗糙，处在一个交变的电磁场中，如图甲所示，电磁场的变化规律如图乙和丙所示，磁场方向以垂直纸面向外为正，而电场的方向以竖直向下为正，其中B0=

2πm

qt0

，E0=

mg

q

，现有一带负电的小物块（可视为质点，其质量为m、带电量为q）从t=0时刻由静止开始从A点沿斜面下滑，在t=3t₀时刻刚好到达斜面上的P点，并且从t=5t₀时刻开始物块在以后的运动中速度大小保持不变．若已知斜面粗糙部分与物块间的动摩擦因素为μ=

3

27

，还测得在0～6t₀时间内物块在斜面上发生的总位移为4g

t

2 0

，求：
（1）小球在t₀时刻的速度；
（2）在整个运动过程中物块离开斜面的最大距离；
（3）物块在t=3t₀时刻到t=5t₀这段时间内因为摩擦而损失的机械能．（计算中取π²=10）

Answer 1

分析：（1）0～t₀内，物块受到的电场力竖直向下，物块做匀加速运动，由牛顿第二定律和运动学公式结合可求出t₀时刻的速度；
（2）分析物块的运动情况，画出其运动轨迹：0～t₀内，物块做匀加速运动；t₀～2t₀内，电场力竖直向上，与重力平衡，物块在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，其T=

2πm

qB0

=t₀；2t₀～3t₀内，电场力竖直向下，物块做匀加速运动；3t₀～4t₀内，电场力竖直向上，与重力平衡，物块在洛伦兹力作用下做半径更大的匀速圆周运动，以此类推，在5t₀～6t₀时间内物块脱离斜面做匀速圆周运动，离开斜面的最大距离等于圆周的直径．由题，t=5t₀时刻物块速度大小保持不变，由平衡条件求出此时的速度，即可由洛伦兹力提供向心力求出物块离开斜面的最大距离；
（3）由运动学分别求出0～t₀、2t₀～3t₀、4t₀～5t₀内的位移和P点速度，由动能定理求出物块在t=3t₀时刻到t=5t₀这段时间内因为摩擦而损失的机械能．

解答：解：（1）0～t₀内小物块匀加速下滑：
    F_合=（mg+E₀q）sinθ=ma
得a=g
故v=at₀=gt₀
（2）运动轨迹如图，物体在5t₀之后匀速，速度达到最大，有：
  F_N=B₀qv_m+（mg+Eq₀）cosθ
（mg+Eq₀）sinθ=μF_N
由以上两式得到：v_m=

4 3 gt0

π

在5t₀～6t₀时间内物块脱离斜面做匀速圆周运动：B₀qv_m=m

v 2 m

r

得到r=

mvm

B0q

=

2 3 g t 2 0

π2

物块离开斜面的最大距离为△l=2r=

4 3 g t 2 0

π2

（3）0～t₀内：x1=

1

2

a

t

2 0

=

1

2

g

t

2 0

    2t₀～3t₀内：x2=

1

2

a(2t0)2-x1=

3

2

g

t

2 0

    4t₀～5t₀内：x3=x-x1-x2=2g

t

2 0

P点速度为v=a?2t₀=2gt₀
根据动能定理得到：(mg+Eq0)x3sinθ-W=

1

2

m

v

2 m

-

1

2

m

v

2 p

得到摩擦损失的机械能为：W=1.6mg2

t

2 0

答：
（1）小球在t₀时刻的速度为gt₀；
（2）在整个运动过程中物块离开斜面的最大距离为

4 3 g t 2 0

π2

；
（3）物块在t=3t₀时刻到t=5t₀这段时间内因为摩擦而损失的机械能为1.6mg2

t

2 0

．

点评：本题物块在周期性的电场和磁场中运动，要通过分析物块的受力情况，来分析运动情况，把运动的规律性，由牛顿定律、运动学公式和动能定理结合求解．