题目内容

13．甲、乙两车在同一直线轨道上同向行驶，甲车在前，速度为8m/s，乙车在后，速度为16m/s，当两车相距s=16m时，甲车因故开始刹车，加速度大小为a=2m/s2，求：
（1）如果乙车不采取措施，乙车经过多长时间追上甲车？
（2）为避免相撞，乙车立即开始刹车，乙车的加速度大小为6m/s2时，此种情况能否相碰，如果不能相碰，请求出甲乙之间的距离存在的最值（最大值或最小值）？
（3）为避免两车相碰，乙车加速度至少为多大？

分析 （1）根据速度时间公式求出甲车速度减为零的时间，求出两车的位移，判断是否追上，再结合位移关系求出追及的时间．
（2）根据速度时间公式求出两车速度相等经历的时间，求出两车的位移，通过位移关系判断是否相撞，若不相撞，有最小距离．
（3）抓住临界状态，即速度相等时恰好不相撞，结合速度公式和位移公式求出乙车的最小加速度．

解答 解：（1）甲车速度减为零的时间${t}_{1}=\frac{0-{v}_{甲}}{a}=\frac{-8}{-2}s=4s$，
此时甲的位移${x}_{1}=\frac{0-{{v}_{甲}}^{2}}{2a}=\frac{0-64}{-4}m=16m$，乙车的位移x2=v乙t1=16×4m=64m，
因为x2＞x1+s，可知乙车在甲车未停下前已经追上，
根据${v}_{甲}t+\frac{1}{2}a{t}^{2}+s={v}_{乙}t$得，8t-t2+16=16t，
解得t=$（4\sqrt{2}-4）s=1.66s$；
（2）两车速度相等经历的时间为t′，有：v甲+at′=v乙+a′t′，解得$t′=\frac{{v}_{乙}-{v}_{甲}}{a-a′}=\frac{16-8}{-2-（-6）}s=2s$，
此时甲的位移${x}_{1}′={v}_{甲}t′+\frac{1}{2}at{′}^{2}=8×2-\frac{1}{2}×2×4$m=12m，乙的位移${x}_{2}′={v}_{乙}t′+\frac{1}{2}at{′}^{2}$=$16×2-\frac{1}{2}×6×4m$=20m，
因为x1′+s＞x2′，可知不能相撞，最小距离△x=x1′+s-x2′=12+16-20m=8m．
（3）设乙车的最小加速度为a″，
当两车速度相等时，有：v甲+at=v乙+a″t，
根据位移关系有：${v}_{甲}t+\frac{1}{2}a{t}^{2}+s={v}_{乙}t+\frac{1}{2}a″{t}^{2}$，
联立两式，代入数据解得a″=-4m/s2．
答：（1）如果乙车不采取措施，乙车经过1.66s时间追上甲车；
（2）两车不能相碰，最小距离为8m；
（3）乙车加速度至少为4m/s2

点评 本题考查了运动学中的追及问题，关键抓住临界状态，结合位移关系，运用运动学公式灵活求解，知道若不相撞，速度相等时有最小距离．

练习册系列答案
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