Question

在探究某种笔的弹跳问题时，建立以下简化模型进行研究。

把笔分为轻质弹簧、圆筒和直杆三部分，薄挡板P固定在直杆上，轻质弹簧的两端分别固定在圆筒顶部和薄挡板P上，质量为M的圆筒可沿直杆无摩擦滑动，直杆和挡板P的总质量为m。开始时将笔直立于水平桌面，在桌面上方的矩形区域内有竖直向上的匀强电场，带正电的挡板P非常靠近电场的上边界，挡板P与周围物体绝缘接触，受到的电场力与笔的重力大小相等。向上移动圆筒使弹簧处于原长状态，此时挡板P刚好与圆筒底部接触，如图甲所示。现用力缓慢向下压圆筒，使圆筒底部恰好与水平桌面接触，此过程中压力做功为W，如图乙所示。撤除压力，圆筒弹起并与挡板P碰撞，两者一起上升到最大高度后自由落下，此后直杆在桌面上多次跳动。

       假设圆筒与挡板P每次碰撞结束时均具有相同速度，碰撞时间均忽略不计。直杆与桌面每次碰撞后均不反弹，直杆始终保持竖直状态。不计一切摩擦与空气阻力，重力加速度大小为g，求：

   （1）直杆第一次上升的最大高度h₁；

   （2）直杆运动的总路程h。

Answer 1

解答：

   （1）设将圆筒下移h₀，设其底部与水平桌面接触时，弹簧的弹性势能为E_P，

       根据功能关系

                                 ① 2分

       撤除压力后，当弹簧恢复原长时，设圆筒与挡板碰前的速度为v₀，

       根据能量守恒

                         ② 2分

       联立①②解得                 ③

       设圆筒与直杆碰撞后共同速度为v₁，

       由动量守恒定律  Mv₀＝(M＋m)v₁     ④ 2分

       此后圆筒与杆共同做竖直上抛运动                             ⑤2分

       联立③④⑤解得  h₁＝                                       ⑥ 2分

   （2）由于，所以此后圆筒底部不再与水平桌面接触。

       根据机械能守恒，圆筒底部与挡板第二次碰前瞬间的速度为v₁，

       设碰后共同速度为v₂，由于笔所受电场力与重力平衡，

       根据动量守恒定律

             即                          ⑦ 1分

       直杆第2次上升的最大高度                                  ⑧ 1分

       同理可得，圆筒底部与挡板第n次碰后速度 

                 ⑨ 2分

       直杆第n次上升的最大高度                                  ⑩ 2分

       故直杆运动的总路程为               （11）2分

       联立解得 

                                2分