题目内容

（2010?武汉二模）在探究某种笔的弹跳问题时，建立以下简化模型进行研究．
把笔分为轻质弹簧、圆筒和直杆三部分，薄挡板P固定在直杆上，轻质弹簧的两端分别固定在圆筒顶部和薄挡板P上，质量为M的圆筒可沿直杆无摩擦滑动，直杆和挡板P的总质量为m．开始时将笔直立于水平桌面，在桌面上方的矩形区域内有竖直向上的匀强电场，带正电的挡板P非常靠近电场的上边界，挡板P与周围物体绝缘接触，受到的电场力与笔的重力大小相等．向上移动圆筒使弹簧处于原长状态，此时挡板P刚好与圆筒底部接触，如图甲所示．现用力缓慢向下压圆筒，使圆筒底部恰好与水平桌面接触，此过程中压力做功为W，如图乙所示．撤除压力，圆筒弹起并与挡板P碰撞，两者一起上升到最大高度后自由落下，此后直杆在桌面上多次跳动．
假设圆筒与挡板P每次碰撞结束时均具有相同速度，碰撞时间均忽略不计．直杆与桌面每次碰撞后均不反弹，直杆始终保持竖直状态．不计一切摩擦与空气阻力，重力加速度大小为g，求：
（1）直杆第一次上升的最大高度h1；
（2）直杆运动的总路程h．
分析：（1）弹簧恢复原长时，能量守恒，结合功能关系可得到压力做功和初速度的关系，求出碰撞后的速度利用竖直上抛运动规律可求得最大高度；
（2）应用动量守恒，可求得圆筒底部与挡板n次碰撞后的速度，从而可求出n次上升的最大高度，从而可求出直杆运动的总路程．
解答：解：（1）设将圆筒下移h0，设其底部与水平桌面接触时，弹簧的弹性势能为EP，
根据功能关系
W+Mgh0=EP    ①
撤除压力后，当弹簧恢复原长时，设圆筒与挡板碰前的速度为v0，根据能量守恒EP=Mgh0+
1
2
M
v
2
0
  ②
联立①②解得  W=
1
2
M
v
2
0
   ③
设圆筒与直杆碰撞后共同速度为v1，
由动量守恒定律  Mv0=（M+m）v1     ④
此后圆筒与杆共同做竖直上抛运动 h1=
v12
2g
     ⑤
联立③④⑤解得  h1=
M2
v
2
0
2g(M+m)2
=
WM
(M+m)2g
                    ⑥
（2）由于
1
2
M
v
2
1
＜W，所以此后圆筒底部不再与水平桌面接触．根据机械能守恒，圆筒底部与挡板第二次碰前瞬间的速度为v1，设碰后共同速度为v2，由于笔所受电场力与重力平衡，根据动量守恒定律
Mv1=（M+m）v2  
即V2=(
M
M+m
)2?v0     ⑦
直杆第2次上升的最大高度h2=
v22
2g
=
v
2
0
2g
(
M
M+m
)4         ⑧
同理可得，圆筒底部与挡板第n次碰后速度 vn=(
M
M+m
)nv0     ⑨
直杆第n次上升的最大高度       hn=
v
2
n
2g
=
v
2
0
2g
(
M
M+m
)2n     ⑩
故直杆运动的总路程为 h=2（h1+h2+…+hn）   n→∞
联立解得 h=2（
M2
v
2
0
2g(M+m)2
+
v
2
0
2g
(
M
M+m
)4+…
v
2
0
2g
(
M
M+m
)2n）=
2MW
(m2+2Mm)g

答：（1）直杆第一次上升的最大高度
WM
(M+m)2g
；
（2）直杆运动的总路程为
2MW
(m2+2Mm)g
．
点评：本题关键是分析直杆的运动规律，利用能量守恒、动量守恒以及竖直上抛运动规律解题．
练习册系列答案
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