Question

（10分）探究某种笔的弹跳问题时，把笔分为轻质弹簧、内芯和外壳三部分，其中内芯和外壳质量分别为m和4m.笔的弹跳过程分为三个阶段：

①把笔竖直倒立于水平硬桌面，下压外壳使其下端接触桌面（见图a）；

②由静止释放，外壳竖直上升至下端距桌面高度为h₁时，与静止的内芯碰撞（见图b）；

③碰后，内芯与外壳以共同的速度一起上升到外壳下端距桌面最大高度为h₂处（见图c）。

设内芯与外壳的撞击力远大于笔所受重力、不计摩擦与空气阻力，重力加速度为g。求

（1）外壳与碰撞后瞬间的共同速度大小；

（2）从外壳离开桌面到碰撞前瞬间，弹簧做的功；

（3）从外壳下端离开桌面到上升至h₂处，笔损失的机械能。

Answer 1

解析：

设外壳上升高度h₁时速度为V₁，外壳与内芯碰撞后瞬间的共同速度大小为V₂，

（1）对外壳和内芯，从撞后达到共同速度到上升至h₂处，应用动能定理有

(4mg＋m)( h₂－h₁)＝ (4m＋m)V₂²，解得V₂＝；

（2）外壳和内芯，碰撞过程瞬间动量守恒，有4mV₁＝(4mg＋m)V₂，

解得V₁＝

设从外壳离开桌面到碰撞前瞬间弹簧做功为W，在此过程中，对外壳应用动能定理有

W－4mgh₁＝ (4m)V₁²，

解得W＝mg；

（3）由于外壳和内芯达到共同速度后上升高度h₂的过程，机械能守恒，只是在外壳和内芯碰撞过程有能量损失，损失的能量为＝ (4m)V₁²－ (4m＋m)V₂²，

联立解得＝mg(h₂－h₁)。