Question

8．如图所示，水平轨道AB长L=9m，光滑倾斜轨道BC足够长．开始时质量为m_Q=1kg的滑块Q静止在AB中点M处；在A点，质量为m_P=3kg的滑块P以速度v₀=5m/s向右运动；P、Q只会发生弹性碰撞，滑块经过B点时，动能损失不计．已知重力加速度g=10m/s²，P、Q与水平轨道间的动摩擦因数μ=0.1．求：
（1）P向右运动的最大位移大小；
（2）Q在倾斜轨道上能滑到的最大高度；
（3）P、Q都停下后两滑块间的距离．

Answer 1

分析 （1）由动能定理求出P到达M点的速度，由动量守恒定律求出P与Q碰撞后各自的速度，最后由动能定理求出P向右的最大位移，以及停止时的位置；
（2）由动能定理求出Q到达B的速度，由机械能守恒求出Q在倾斜轨道上能滑到的最大高度；
（3）由动能定理求出Q再次与Q碰撞前的速度，由动量守恒定律与动能守恒求出碰撞后的速度，最后由动能定理求出P、Q都停下后两滑块间的距离．

解答 解：（1）P向右做减速运动的过程中只有摩擦力做功，设P到达M点的速度为v₁，由动能定理得：
$-μ{m}_{P}g•\frac{L}{2}=\frac{1}{2}{m}_{P}{v}_{1}^{2}-\frac{1}{2}{m}_{P}{v}_{0}^{2}$
代入数据得：v₁=4m/s
P与Q碰撞的过程中，系统在水平方向的动量守恒，选取向右为正方向，设碰撞后的速度分别为v₂和v₃，则：
m_Pv₁=m_Pv₂+m_Qv₃
由于是弹性碰撞，则总动能不变，得：
${\frac{1}{2}m}_{P}{{v}_{1}}^{2}=\frac{1}{2}{m}_{P}{{v}_{2}}^{2}+\frac{1}{2}{m}_{Q}{{v}_{3}}^{2}$
联立得：v₂=2m/s，v₃=6m/s
碰撞后P与Q都向右做减速运动，设P向右的位移为x，则有：
$-μ{m}_{P}g•x=0-\frac{1}{2}{m}_{P}{v}_{2}^{2}$
代入数据得：x=2m
所以P向右运动的最大位移大小为：
${x}_{m}=\frac{L}{2}+x=\frac{9}{2}+2=6.5$m；
（2）设Q运动到B点的速度为v₄，由动能定理得：
$-μ{m}_{Q}g•\frac{L}{2}=\frac{1}{2}{m}_{Q}{v}_{4}^{2}-\frac{1}{2}{m}_{Q}{v}_{3}^{2}$
Q在斜面上运动的过程中机械能守恒，得：
$\frac{1}{2}{m}_{Q}{v}_{4}^{2}={m}_{Q}gh$
联立得：h=1.35m
（3）P停止的位置到B点的距离为：
x′=L-x_m=9-6.5=2.5m
由于斜面光滑，所以Q返回B点的速度大小仍然与v₄大小相等，方向向左．当Q与P碰撞时，设速度为v₅，则有：
$-μ{m}_{Q}g•x′=\frac{1}{2}{m}_{Q}{v}_{5}^{2}-\frac{1}{2}{m}_{Q}{v}_{4}^{2}$
设碰撞后P与Q的速度分别为v₆和v₇，选取向左为正方向，则有：
m_Qv₅=m_Qv₆+m_Pv₇
由动能守恒得：${\frac{1}{2}m}_{Q}{{v}_{5}}^{2}=\frac{1}{2}{m}_{P}{{v}_{6}}^{2}+\frac{1}{2}{m}_{Q}{{v}_{7}}^{2}$
联立得：${v}_{6}=\sqrt{5.5}m/s，{v}_{7}=-\sqrt{5.5}m/s$，负号表示Q在碰撞后运动的方向向右．
设P在碰撞后的位移大小为x_P，则：${x}_{P}=\frac{{v}_{6}^{2}}{2μg}=\frac{5.5}{2×0.1×10}=2.75$m，方向向左；
设P在碰撞后的位移大小为x_Q，则：${x}_{Q}=\frac{{v}_{7}^{2}}{2μg}=\frac{5.5}{2×0.1×10}=2.75$m，方向向右．
由于x_Q＞x′=2.5m，可知Q到达B点时的速度大于0，所以Q将第二次冲上斜面，然后以冲上斜面的速度返回，再向右运动一段距离后停止，所以Q停止时，到B点的距离：L_Q=x_Q-x′=2.75m-2.5m=0.25m
所以在P与Q都停止运动后，二者之间的距离：
x_PQ=x_P+（x′-L_Q）=2.75+（2.5-0.25）=5m
答：（1）P向右运动的最大位移大小是6.5m；
（2）Q在倾斜轨道上能滑到的最大高度是1.35m；
（3）P、Q都停下后两滑块间的距离是5m．

点评 该题涉及的过程比较多，在解答该题中，由于涉及Q从斜面上返回的问题，所以在解答的过程中要注意Q到达B点的速度是否等于0．