Question

17．如图所示，四分之一粗糙圆弧轨道PD的圆心O₁和光滑半圆轨道DQ的圆心O₂，与斜面体ABC的竖直面AB在同一竖直线上，两圆弧轨道衔接处的距离忽略不计，斜面体ABC的底面BC是水平面，一个质量m=0.2kg，可视为质点的小球从P点由静止开始释放，先后沿两个圆弧轨道运动，最后落在斜面体上（不会弹起），已知四分之一圆弧的半径R₁=1.0m，半圆的半径R₂=0.6m，AB=9m，BC=12m，O₂A=1.1m，小球在半圆最低点Q对轨道的压力为14N．求：
（1）小球经过D点时的速度大小；
（2）小球在四分之一圆弧内下滑时克服摩擦力做的功；
（3）小球落在斜面上的位置到A点的距离．

Answer 1

分析 （1）小球经过Q点时，由轨道的支持力和重力的合力充当向心力，由牛顿第二定律求小球经过Q点时的速度大小．再研究小球从D点运动到Q点的过程，运用机械能守恒定律求出小球通过D点时的速度．
（2）小球从P到D的过程，运用动能定理求克服摩擦力做的功．
（3）小球离开半圆轨道后做平抛运动，根据平抛运动的规律和几何关系求解小球落在斜面上的位置到A点的距离．

解答 解：（1）小球在半圆最低点Q对轨道的压力为14N，由牛顿第三定律知小球在Q点受到的支持力为：N=14N
在Q点，由牛顿第二定律和向心力公式得：
N-mg=m$\frac{{v}_{Q}^{2}}{{R}_{2}}$
解得：v_Q=6m/s
小球从D点运动到Q点的过程中，由机械能守恒定律得：
2mgR₂+$\frac{1}{2}m{v}_{D}^{2}$=$\frac{1}{2}m{v}_{Q}^{2}$
代入数据解得：v_D=2$\sqrt{3}$m/s
（2）小球从P运动到D的过程，由动能定理得：
mgR₁-W_f=$\frac{1}{2}m{v}_{D}^{2}$-0
解得：W_f=0.8J
（3）小球离开半圆轨道后做平抛运动，由几何关系可知：
tanθ=$\frac{AB}{BC}$=$\frac{9}{12}$=$\frac{3}{4}$
Q、A两点间的距离为：h=O₂A-R₂=1.1-0.6=0.5m
由平抛运动规律得：
  x=Lcosθ=vt
  y=h+Lsinθ=$\frac{1}{2}$gt²．
联立解得：小球落在斜面上的位置到A点的距离为：L=7.5m
答：（1）小球经过D点时的速度大小为2$\sqrt{3}$m/s；
（2）小球在四分之一圆弧内下滑时克服摩擦力做的功是0.8J；
（3）小球落在斜面上的位置到A点的距离是7.5m．

点评 分析清楚小球的运动情况，把握每个过程和状态的物理规律是关键．轨道光滑时往往根据机械能守恒定律求速度．对于平抛运动，要熟练运用运动的分解法研究，同时要把握隐含的几何关系．