题目内容

20．某游戏装置放在竖直平面内，如图所示，装置由粗糙抛物线形轨道AB和光滑的圆弧轨道BCD构成，控制弹射器可将穿在轨道上的小球以不同的水平初速度由A点射入，最后小球将由圆轨道的最高点D水平抛出，落入卡槽中得分，圆弧半径为R，O′为圆弧的圆心，C为圆弧轨道最低点，抛物线轨道上A点在坐标轴的原点O上，轨道与圆弧相切于B点，抛物线轨道方程为y=ax2（0＜a＜$\frac{1}{4R}$），∠BO′C=θ，x轴恰好将半径O′D分成相等的两半，交点为P，x轴与圆弧交于Q点，则：
（1）将小球以某一初速度水平由A点射入轨道，小球沿轨道运动到与A等高处Q，速度减为0，试求小球运动到B点的速度；
（2）由（1）得到的B点的速度，能否求出小球在A点射入的速度，如果能请求出v0，不能，请说明理由；
（3）试求在多次弹射小球的过程中，机械能损失最小的一次，小球在最高点D对轨道的作用力与最低点C对轨道的作用力的比值．

分析 （1）BCD是光滑的轨道故从B到Q的过程中只有重力做功，根据动能定理求得小球在B点的速度即可；
（2）从A到B的过程中只重力和阻力做功，因为阻力是变力，不能求出阻力做的功，故无法求得小球在A点的初速度；
（3）要求小球机械能损失最小，则由题意可知，当小球从A点做平抛运动，与抛物线重合时，小球损失的机械能最小，据平抛运动规律求得小球在B点时速度，再由动能定理和小球在最高点最低点时竖直方向的合外力提供小球圆周运动向心力分析求解即可．

解答 解：（1）小球从B到Q的过程中在光滑的圆弧轨道上运动，全过程中只有重力做功，根据动能定理有：
$-mg（Rcosθ+\frac{R}{2}）=0-\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$
解得小球在B点时的速度：vB=$\sqrt{gR（1+2cosθ）}$
（2）不能求出，因为抛物线轨道粗糙，小球在轨道上运动时所受摩擦力是变力，故不能求出摩擦力对小球做的功，所以无法由动能定理求得小球在A点时的速度；
（3）由题意可知，要使小球损失的机械能最小，即小球在整个运动过程中无摩擦力做功，所以当小球做平抛运动轨道恰好与抛物线轨道重合时，小球运动过程中无摩擦力做功，所以有：
根据平抛运动规律有：
x=v0t
$y=\frac{1}{2}g{t}^{2}$
可得$y=\frac{g}{2{v}_{0}}{x}^{2}$=ax2
所以：${v}_{0}=\sqrt{\frac{g}{2a}}$
小球从A到C，只有重力做功有：
$mg（R+\frac{R}{2}）=\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
小球在最低点竖直方向的合力提供圆周运动向心力有：${F}_{NC}-mg=m\frac{{v}_{C}^{2}}{R}$
联列两式可解得：${F}_{NC}=4mg+\frac{mg}{2aR}$
从A到D过程中只有重力做功有：
$-mg\frac{R}{2}=\frac{1}{2}m{v}_{D}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
解得：${v}_{D}=\sqrt{\frac{g}{2a}-gR}$
因为$0＜a＜\frac{1}{4R}$
所以：${v}_{D}＞\sqrt{gR}$
小球在D点有：${F}_{ND}+mg=m\frac{{v}_{D}^{2}}{R}$
可得：${F}_{ND}=\frac{mg}{2aR}-2mg$
所以可得：$\frac{{F}_{ND}}{{F}_{NC}}=\frac{1-4aR}{1+8aR}$
答：（1）将小球以某一初速度水平由A点射入轨道，小球沿轨道运动到与A等高处Q，速度减为0，试求小球运动到B点的速度为$\sqrt{gR（1+2cosθ）}$；
（2）由（1）得到的B点的速度，不能求出小球在A点射入的速度，因为不能求出AD段摩擦力这个变力所做的功；
（3）试求在多次弹射小球的过程中，机械能损失最小的一次，小球在最高点D对轨道的作用力与最低点C对轨道的作用力的比值为$\frac{1-4aR}{1+8aR}$．

点评 本题属于动能定理和圆周运动结合型的综合题，能根据题中要求在抛物线段机械能损失最小判断出小球做平抛运动的轨迹与抛物线重合时无摩擦力做功，这是解决第三问的一个关键点．

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