Question

4．竖直平面内的轨道ABCD由水平滑道AB与半径为R的光滑的四分之一滑道CD组成，AB恰好与圆弧CD在C点相切，轨道放在光滑的水平面上，如图所示，一个质量为m=1kg的小物块（可视为质点）从轨道的A端以初速度v₁=4m/s冲上水平滑道AB，沿着滑道运动，由DC弧滑下后最终停止在水平滑道AB的中间位置．已知水平滑道AB长为L=1m，轨道ABCD的质量为M=3kg．重力加速度g=10m/s²．求：
（1）小物块在水平滑道上滑动时系统损失的动能△E_k和受到摩擦力f的大小．
（2）若小物块刚好能到达D点，利用功能关系求圆弧滑道的半径R为多大？
（3）在上述结论下，若增大小物块的初速度，使得小物块冲上轨道后可以达到最大高度（相对水平轨道）是1.5R，试分析小物块最终能否停在滑道上？

Answer 1

分析 （1）小物块与轨道A组成的系统，水平方向不受外力，动量守恒，由动量守恒求出物块停在轨道上时两者共同的速度，即可求解系统损失的动能△E_k．
在小物块在轨道上运动的整个过程中，重力做功为0，摩擦力做负功-1.5fL，根据动能定理求解f．
（2）小物块恰好不从轨道的D端离开轨道时，到达D点时物块与轨道的速度相同，由水平方向动量守恒和能量守恒列式求出R．
（3）假定物块最终停在水平轨道上，根据系统的动量守恒和能量守恒列式，求出物块在水平轨道滑动的路程，与轨道长度进行比较，即可分析．

解答 解：（1）从小物块冲上轨道到滑回中点的过程中，系统水平方向的合外力为零，取向左为正方向，由水平方向动量守恒得：
  mv₁=（m+M）v₂；
得 v₂=$\frac{1}{4}{v}_{1}$=1m/s
故系统损失的动能△E_k=$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$-$\frac{1}{2}（m+M）{v}_{2}^{2}$=6J
系统没有外力做功，由能量守恒得：△E_k=f•$\frac{3}{2}L$
解得 f=4N
（2）从小物块冲上轨道到刚好到达D占，此时它与轨道有共同的速度，由水平方向动量守恒有：mv₁=（m+M）v₂；
可知v₂=1m/s
由能量守恒有：$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$=$\frac{1}{2}（m+M）{v}_{2}^{2}$+mgR+fL
即得 mgR=$\frac{fL}{2}$
解得 R=0.2m
（3）假设物块最终能停在滑道上．则物块运动到最高点时和停在滑道上时，两者均共速，
（m+M）v₃=（m+M）v₄；
且这一过程中，系统没有外力做功，由能量守恒有
  1.5mgR+$\frac{1}{2}（m+M）{v}_{3}^{2}$=$\frac{1}{2}（m+M）{v}_{4}^{2}$+fx
代入f和R得：x=$\frac{3}{4}L$＜L，所以假设成立，物块最终停在距轨道左端$\frac{1}{4}$L=0.25m处．
答：
（1）小物块在水平滑道上滑动时系统损失的动能△E_k为6J，受到摩擦力f的大小为4N．
（2）若小物块刚好能到达D点，圆弧滑道的半径R为0.2m．
（3）物块最终停在距轨道左端0.25m处．

点评 解决本题的关键要把握住物块在滑道上运动的过程中，系统的水平方向动量守恒和能量守恒，要注意摩擦生热Q=f△s，△s是相对路程．