Question

1．如图所示，一固定斜面体，其斜边与水平底边的夹角θ=37°，BC为一段光滑圆弧轨道，DE为半圆形光滑轨道，两圆弧轨道均固定于竖直平面内，一滑板静 止在光滑的地面上，右端紧靠C点，上表面所在平面与两圆弧分别相切于C、D两点．一物块被轻放在斜面上F点由静止释放，物块离开斜面后恰好在B点沿切线进入B段 圆弧轨道，再经C点滑上滑板，滑板运动到D点时被牢固粘连．物块可视为质点，质量为m，滑板质量M=2m，DE半圆弧轨道和BC圆弧轨道的半径均为R，斜面体水平底边与滑板上表面的高度差H=2R，板长l=6.5R，板左端到D点的距离L在R＜L＜5R范围内取值，F点距A点的距离s=12.5R，物块与斜面、物块与滑板间的动摩擦因数均为μ=0.5，重力加速度取g．已知sin37°=0.6，cos37°=0.8．求：（结果用字母 m、g、R、L 表示）

（1）求物块滑到A点的速度大小；
（2）求物块滑到C点时所受圆弧轨道的支持力的大小；
（3）试讨论物块从滑上滑板到离开左端的过程中，克服摩擦力做的功W_f与L的关系； 并判断物块能否滑到DE轨道的中点．

Answer 1

分析 （1）对F到A的过程中，运用动能定理求出物块滑到A点的速度大小．
（2）根据机械能守恒定律求出到达C点的速度，结合牛顿第二定律求出支持力的大小．
（3）根据动量守恒定律求出物块和 滑板达到的共同速度，结合动能定理分别求出物块和滑板的位移大小，判断出物块与滑板达到相同速度时，物块未离开滑板，
讨论当2R≤L＜5R和2R≤L＜5R，得出滑块的运动规律，结合动能定理分析判断．

解答 解：（1）设物块滑动A点的速度为v₁，根据动能定理有：
mgsinθ×12.5R-μmgcosθ×12.5R=$\frac{1}{2}m{{v}_{1}}^{2}$，
解得${v}_{1}=\sqrt{5gR}$．
（2）设物块滑动C点的速度为v₂，根据机械能守恒定律有：
$\frac{1}{2}m{{v}_{2}}^{2}=mg2R+\frac{1}{2}m{{v}_{1}}^{2}$，
解得${v}_{2}=3\sqrt{gR}$．
根据牛顿第二定律得，${F}_{N}-mg=m\frac{{{v}_{2}}^{2}}{R}$，
解得${F}_{N}=m\frac{{{v}_{2}}^{2}}{R}+mg=10mg$．
（3）物块从C滑上滑板后开始做匀减速运动，此时滑板开始做匀加速直线运动，当物块与滑板达到共同速度v₃时，二者开始做匀速运动．
规定v₂的方向为正方向，根据动量守恒定律得，mv₂=（m+M）v₃，
解得${v}_{3}=\sqrt{gR}$．
对物块根据动能定理有：-μmgl₁=$\frac{1}{2}m{{v}_{3}}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{2}}^{2}$，
对滑板根据动能定理有：$μmg{l}_{2}=\frac{1}{2}M{{v}_{3}}^{2}-0$，
解得l₁=8R，l₂=2R，
物块相对滑板的位移△l=l₂-l₁＜l，
即物块与滑板达到相同速度时，物块未离开滑板，
讨论：①当R＜L＜2R，物块在滑板上一直匀减速运动至D，运动的位移为6.5R+L，克服摩擦力做功W_f=μmg（6.5R+L）=$\frac{1}{4}mg（13R+2L）$．
设滑上D点的速度为v_D，根据动能定理有：$-μmg（6.5R+L）=\frac{1}{2}m{{v}_{D}}^{2}$-$\frac{1}{2}m{{v}_{2}}^{2}$，
解得$\frac{1}{2}m{{v}_{D}}^{2}=\frac{1}{2}mg（2.5R-L）＜mgR$，
所以物块不可能滑到DE轨道的中点．
②当2R≤L＜5R，物块先匀减速运动8R，然后匀速运动L-2R，在匀减速运动0.5R，克服摩擦力做功${W}_{f}=μmg（8R+0.5R）=\frac{17}{4}mgR$．
设滑上D点的速度为v_D′，根据动能定理有：$-μmg（8R+0.5R）=\frac{1}{2}m{v}_{D}{′}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{2}}^{2}$，
解得$\frac{1}{2}m{v}_{D}{′}^{2}=\frac{1}{4}mgR＜mgR$．
所以 物块不可能滑到DE的中点．
答：（1）物块滑到A点的速度大小为$\sqrt{5gR}$；
（2）物块滑到C点时所受圆弧轨道的支持力的大小为10mg；
（3）当R＜L＜2R，克服摩擦力做功为$\frac{1}{4}mg（13R+2L）$..不能到达DE的中点．
当2R≤L＜5R，克服摩擦力做功为$\frac{17}{4}mgR$．不能到达DE的中点．

点评 本题考查动量守恒和机械能守恒以及有摩擦的板块模型中克服摩擦力做的功．判断物块与滑板在达到相同共同速度时，物块未离开滑板是关键，是一道比较困难的好题．