Question

11．如图，相距2L的．AB、CD两边界间的空间区域存在两个方向相向的
匀强电场，其中PT以上的电场方向竖直向下，下面的电场方向竖直向上．PQ上连续分布着电荷量为+q、质量为m的粒子，依次以相同水平初速v₀垂直射入PT下方电场中，且有PQ=L．若从Q点射入的粒子恰从M点水平射出，满足MT=$\frac{L}{2}$，其轨迹如图．不计粒子重力及它们间的相互作用．
（1）求PT上、下电场强度E₁与E₀的大小
（2）在PQ间还有许多水平射入电场的粒子通过电场后也能从CD边水平射出，求这些入射点到P点的距离应满足的条件
（3）若从M点射出的粒子恰从中点S孔垂直射入边长是α截面为正方形的容器中，容器中存在图中所示的匀强磁场，已知粒子运动半径小于α．为使粒子与器壁多次垂直碰撞后仍能从S孔射出，粒子与绝缘壁碰撞时无能量和电量损失，求磁感应强度B应满足的条件．

Answer 1

分析 （1）粒子在两电场中做类平抛运动，由图可得出粒子在两电场中的运动情况；分别沿电场方向和垂直电场方向列出物理规律，联立可解得电场强度的大小；
（2）根据电场强度的关系，结合速度公式求出运动的时间的关系，抓住L_PR=2L_RT，根据运动的周期性，找出PT距离在上下电场运动水平位移之和的通项表达式，从而结合竖直方向上的运动规律求出入射点到P点的距离应满足的条件．
（3）作出粒子在磁场中运动的轨迹图，结合轨道半径的通项表达式，结合半径公式求出磁感应强度的表达式．

解答 解：（1）设粒子在E₀和E₁运动时间分别为t₁、t₂，到达R时竖直速度为v_y，
根据   s=$\frac{1}{2}$at²，v=at，F=qE=ma
得   L=$\frac{1}{2}$a₁t${\;}_1^2$=$\frac{1}{2}•\frac{{qE{\;}_0}}{m}t{\;}_1^2$   ①
$\frac{L}{2}=\frac{1}{2}{a_2}t{\;}_2^2$=$\frac{1}{2}•\frac{{qE{\;}_1}}{m}t{\;}_2^2$    ②
v_y=$\frac{{q{E_0}}}{m}{t_1}$=$\frac{{q{E_1}}}{m}{t_2}$     ③
v₀（t₁+t₂）=2L　　　 ④
联立以上各式解得     E₁=2E₀
则有        E₀=$\frac{9mv_0^2}{8qL}$，E₁=$\frac{9mv_0^2}{4qL}$
（2）由E₁=2E₀及③式可得t₁=2t₂ 　
则L_PR=2L_RT
设粒子第一次达PT直线用时△t，水平位移为△x，竖直位移为△y，则
△x=v₀△t　     ⑤
$2L=n（△x+\frac{△x}{2}）$（n=1，2，3…）         ⑥
△y=$\frac{1}{2}\frac{{q{E_0}}}{m}（△t）{\;}^2$⑦
由⑤～⑦式联立并代入E₀解得     $△y=\frac{L}{n^2}$（n=1，2，3…）
讨论：若n为偶数，粒子从PT下方垂直CD射出电场
若n为奇数，粒子从PT上方垂直CD射出电场
（3）为使粒子仍能从S孔射出，其运动轨迹如图示意，设粒子运动的半径为R₁
则　 R₁=$\frac{a}{2（2n+1）}$（ n=0，1，2…） 
又　 qv₀B=$\frac{{mv{\;}_0^2}}{R_1}$
解得      B=$\frac{{2（2n+1）m{v_0}}}{qa}$（n=0，1，2，3…）
答：（1）PT上、下电场强度E₁与E₀的大小分别为 E₀=$\frac{9mv_0^2}{8qL}$，E₁=$\frac{9mv_0^2}{4qL}$；
（2）这些入射点到P点的距离应满足的条件为 $△y=\frac{L}{n^2}$（n=1，2，3…）
（3）磁感应强度B应满足的条件为 B=$\frac{{2（2n+1）m{v_0}}}{qa}$（n=0，1，2，3…）．

点评 带电粒子在电场磁场中的运动要把握其运动规律，在电场中利用几何关系得出其沿电场和垂直于电场的运动规律；而在磁场中也是要注意找出相应的几何关系，从而确定圆心和半径．