题目内容

20．我国自主研发的首颗高分辨率对地观测卫星“高分一号”，于2013年4月12日由长征二号丁运载火箭发射升空，2013年12月正式投入使用，该卫星对地面拍摄的分辨率可达2米，可对全球进行扫描拍摄，达到了世界的先进水平．设“高分一号”卫星绕地球的南北两极做匀速圆周运动，对地球的张角为120°，如图所示，卫星在A点．已知地面的重力加速度为g，地球的半径为R，万有引力常量为G．求
（1）“高分一号”卫星绕地球做匀速圆周运动的速度为多大？
（2）若要在一天的时间内（用T0表示）对地球进行全景扫描，且只能在有太阳光照的部分进行扫描，则它每次扫描的宽度至少多大？

分析 （1）根据图示由几何关系确定卫星绕地球圆周运动的轨道半径，再根据万有引力提供圆周运动向心力和地球表面重力与万有引力相等求得卫星运行速度；
（2）由地球自转角速度求出卫星绕行地球一周的时间内，地球转过的圆心角，再根据弧长与圆心角的关系求解．

解答 解：（1）由图示几何关系有，该卫星绕地球圆周运动的轨道半径r=$\frac{R}{sin\frac{120°}{2}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}R$
在地球表面重力等于万有引力，有：$G\frac{mM}{{R}^{2}}=mg$
可得GM=gR2
据万有引力提供圆周运动向心力有$G\frac{mM}{{r}^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{r}$
可得卫星的速度v=$\sqrt{\frac{GM}{r}}=\sqrt{\frac{g{R}^{2}}{\frac{2\sqrt{3}}{3}R}}$=$\sqrt{\frac{\sqrt{3}}{2}}\sqrt{gR}$
（2）根据万有引力提供圆周运动向心力有：
$G\frac{mM}{{r}^{2}}=mr\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$
可得卫星的周期T=$\sqrt{\frac{4{π}^{2}{r}^{3}}{GM}}=2π\sqrt{\frac{（\frac{2\sqrt{3}}{3}R）^{3}}{g{R}^{2}}}$
地球自转角速度为ω=$\frac{2π}{{T}_{0}}$                
在卫星绕行地球一周的时间T内，地球转过的圆心角为
θ=ωT=$\frac{2π}{{T}_{0}}$T              ⑤
那么摄像机转到赤道正上方时摄下圆周的弧长为s=θR=$R\frac{2π}{{T}_{0}}T$=$\frac{8{π}^{2}R}{3{T}_{0}}\sqrt{\frac{2\sqrt{3}R}{g}}$．
答：（1）“高分一号”卫星绕地球做匀速圆周运动的速度为$\sqrt{\frac{\sqrt{3}}{2}}\sqrt{gR}$；
（2）若要在一天的时间内（用T0表示）对地球进行全景扫描，且只能在有太阳光照的部分进行扫描，则它每次扫描的宽度至少为$\frac{8{π}^{2}R}{3{T}_{0}}\sqrt{\frac{2\sqrt{3}R}{g}}$．

点评 解决本题的关键一是根据几何关系求得卫星轨道半径，二是根据重力与万有引力相等及万有引力提供圆周运动向心力分析卫星的线速度与周期等物理量．

练习册系列答案
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