题目内容
【题目】如图甲为倾角θ=30°的绝缘光滑匀质直角斜面体,其直角棱固定在水平地面上的光滑转动轴上,斜面长l=2m。斜面体顶端固定一个半径r=m的轻质绝缘光滑圆弧轨道,圆弧轨道和斜面体底边中点在同一竖直平面内,斜面体与圆弧轨道平滑连接,圆弧轨道顶端的切线方向恰好竖直。其正视图如图乙所示。圆弧轨道所在的空间区域有竖直向上的匀强电场,场强大小E=1.0×103V/m,圆弧轨道上方和下方均无电场。一个带电量q=+1.0×10﹣3C、质量m=0.1kg的小球(可视为质点)从斜面体底边中点处以初速度v0=
m/s垂直底边沿斜面向上滑动,斜面体始终处于静止状态,不计空气阻力,g=10m/s2。试求:
(1)小滑块能够上升到距离地面的最大高度;
(2)为使斜面体始终处于静止状态,斜面体的质量至少是多大?
【答案】(1)2.6m(2)0.075kg
【解析】
(1)由已知条件可得 qE=mg=1.0N,所以小滑块在圆弧轨道上运动时做匀速圆周运动,
由几何关系可知,圆弧轨道对应的圆心角为60°,设小滑块能够上升到距离地面的最大高度为h.由动能定理得
解得h=2.6m (h>lsin30°+rsin60°=2.5m,答案合理)
(2)为使斜面体始终处于静止状态,设斜面体的质量至少是M.滑块在斜面上滑动时对斜面体的压力为mgcosθ,且到达斜面顶端时力臂最大,所以要使滑块在斜面上滑动时保持斜面体静止,必须满足
解得
M=0.075kg
由qE=mg知,小滑块在圆弧轨道上做匀速圆周运动,所需的向心力等于轨道对滑块的压力.由牛顿第三定律知,滑块对轨道的压力等于向心力,且滑块在轨道顶端时对斜面体的力矩最大,所以要使滑块在圆弧轨道上做匀速圆周运动时保持斜面体静止,斜面体的质量至少满足其重力力矩等于此时滑块对轨道的压力力矩.设滑块做匀速圆周运动的速度为v,根据力矩平衡条件有
滑块从斜面底端滑到斜面顶端过程中,由机械能守恒定律有
解得
M=0.05mg;
综上所述,
M=0.075kg
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