题目内容
【题目】如图，光滑水平桌面上有一个矩形区域abcd，bc长度为2L，cd长度为1.5L，e、f分别为ad、bc的中点。efcd区域存在竖直向下的匀强磁场，磁感应强度为B；质量为m、电荷量为+q的绝缘小球A静止在磁场中f点。abfe区域存在沿bf方向的匀强电场，电场强度为
；质量为km的不带电绝缘小球P，以大小为
的初速度沿bf方向运动。P与A发生弹性碰撞，A的电量保持不变，P、A均可视为质点。
（1）若A从ed边离开磁场，求k的最大值；
（2）若A从ed边中点离开磁场，求k的可能值和A在磁场中运动的最长时间。
【答案】（1）1（2）
或
；A球在磁场中运动的最长时间
【解析】
（1）令P初速度
，设P、A碰后的速度分别为vP和vA，
由动量守恒定律：
由机械能守恒定律：
可得：
，可知k值越大，vA越大；
设A在磁场中运动轨迹半径为R， 由牛顿第二定律：
可得：
，可知vA越大，R越大；即
，k值越大，R越大；
如图1，当A的轨迹与cd相切时，R为最大值，
可得：
，求得k的最大值为
（2）令z点为ed边的中点，分类讨论如下：
（I）A球在磁场中偏转一次从z点就离开磁场，如图2有
解得：
可得：
（II）由图可知A球能从z点离开磁场要满足
，则A球在磁场中还可能经历一次半圆运动后回到电场，再被电场加速后又进入磁场，最终从z点离开。令电场强度
；如图3和如图4，由几何关系有：
解得：
或
可得：
或
当
时，
，由于
当时，
，由于
此类情形取符合题意要求，即
综合（I）、（II）可得A球能从z点离开的k的可能值为： 或
A球在磁场中运动周期为
当k=
时，如图4，A球在磁场中运动的最长时间
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