Question

4．已知人造航天器在某行星表面上空绕行星做匀速圆周运动，绕行方向与行星自转方向相同（人造航天器周期小于行星的自转周期），经过时间t（t小于航天器的绕行周期），航天器运动的弧长为s，航天器与行星的中心连线扫过角度为θ，引力常量为G，航天器上的人两次相邻看到行星赤道上的标志物的时间间隔是△t，这个行星的同步卫星的离行星的球心距离（　　）

• A． $\frac{s△t}{（2πt-θ△t）}$
• B． $\frac{s△t}{（θ△t-2πt）}$
• C． $\frac{s}{θ}\root{3}{{\frac{{{θ^2}△{t^2}}}{{{{（2πt-θ△t）}^2}}}}}$
• D． $\frac{s}{θ}\root{3}{{\frac{{{θ^2}△{t^2}}}{{{{（θ△t-2πt）}^2}}}}}$

Answer 1

分析 对于航天器：s=rθ可求出轨道半径，航天器的角速度为：ω=$\frac{θ}{t}$ 航天器的周期为T=$\frac{2πt}{θ}$，再由两次相重合的条件可表示出同步卫星的周期，再据开普勒第三定律列等式求得同步卫星的轨道半径即为同步卫星的离行星的球心距离．

解答 解：航天器的轨道半径为：r=$\frac{s}{θ}$，航天器的角速度为：ω=$\frac{θ}{t}$ 航天器的周期为T=$\frac{2πt}{θ}$
设同步卫星的周期为T′，则其角速度ω′=$\frac{2π}{T′}$
因时间间隔是△t，则：tω△t-ω′△=2π  得$T′=\frac{2πt△t}{θ△t-2πt}$

又由开普勒第三定律：$\frac{{r}^{3}}{r{′}^{3}}$=$\frac{{T}^{2}}{T{′}^{2}}$可得r′=$\frac{s}{θ}\sqrt{\frac{{θ}^{2}△{t}^{2}}{（θ△t-2πt）^{2}}}$，
故D正确，ABC错误
故选：D

点评 由开普勒第三定律确定周期与半径的关系是解题的关键，明确定再次重合为两者的转过的角度差为2π．