题目内容
【题目】如图所示,在水平轨道右侧安放半径为R的竖直圆槽形光滑轨道,水平轨道的PQ段铺设特殊材料,调节其初始长度为L,水平轨道左侧有一轻质弹簧左端固定,弹簧处于自然伸长状态.小物块A(可视为质点)从轨道右侧以初速度v0冲上轨道,通过圆形轨道、水平轨道后压缩弹簧并被弹簧以原速率弹回,经水平轨道返回圆形轨道.已知R=0.2m,l=1.0m,v0=2 m/s,物块A质量为m=1kg,与PQ段间的动摩擦因数为μ=0.2,轨道其他部分摩擦不计,取g=10m/s2 . 求:
(1)物块A与弹簧刚接触时的速度大小.
(2)物块A被弹簧以原速率弹回返回到圆形轨道的高度.
(3)物块A仍以v0从轨道右侧冲上轨道,调节PQ段的长度l,当l满足什么条件时,物块A能返回圆形轨道且能沿轨道运动而不会脱离轨道.
【答案】
(1)解:物块A冲上圆形轨道后回到最低点速度为v0=2 m/s,
与弹簧接触瞬间,﹣μmgl= mv12﹣ mv02,
可得,物块A与弹簧刚接触时的速度大小v1=2 m/s
(2)解:A被弹簧以原速率v1弹回,向右经过PQ段,
有v22﹣v12=﹣2μgl;解得A速度 v2=2m/s,
A滑上圆形轨道,有﹣mgh=0﹣ mv22,
(也可以应用﹣μ×mgl﹣mgh= mv22﹣ mv12)
可得,返回到右边轨道的高度为h=0.2m=R,符合实际
(3)解:物块A以v0冲上轨道直到回到PQ段右侧,
有v1′2﹣v02=﹣2μg×2l,
可得,A回到右侧速度:v1′2=(12﹣8l)(m/s)2,
要使A能返回右侧轨道且能沿轨道运动而不脱离轨道,则有:
① 若A沿轨道上滑至最大高度h时,速度减为0,则h满足:0<h≤R,
根据机械能守恒: mv1′2=mgh联立可得,1.0m≤l<1.5m;
②若A能沿轨道上滑至最高点,则满足: mv1′2=mg×2R+ mv2′2且m ≥mg,
联立得 l≤0.25m,综上所述,要使A物块能第一次返回圆形轨道并沿轨道运动而不脱离轨道,
l满足的条件是1.0m≤l<1.5m或 l≤0.25m
【解析】(1)物块A从Q到P过程中,运用动能定理,结合摩擦力做功,从而求出物块A与弹簧刚接触时的速度大小.(2)根据运动学公式求得回到圆轨道的速度大小,再根据动能定理求出A能够上升的高度,并讨论能否达到此高度.(3)A物块能返回圆形轨道且能沿轨道运动而不会脱离轨道,要么能够越过圆轨道的最高点,要么在圆轨道中上升的高度不要超过圆轨道的半径,结合动能定理和牛顿第二定律求出l所满足的条件.
【考点精析】根据题目的已知条件,利用向心力的相关知识可以得到问题的答案,需要掌握向心力总是指向圆心,产生向心加速度,向心力只改变线速度的方向,不改变速度的大小;向心力是根据力的效果命名的.在分析做圆周运动的质点受力情况时,千万不可在物体受力之外再添加一个向心力.