Question

12．如图所示，两个同心圆，半径分别为r和2r，在两圆之间的环形区域内存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B．圆心O处有一放射源，放出粒子的质量为m，带电荷量为-q，假设粒子速度方向都和纸面平行，不计粒子重力．
（1）图中箭头表示某一粒子初速度的方向，OA与初速度方向夹角为60°，要想使该粒子经过磁场第一次通过A点，则初速度的大小是多少？
（2）要使粒子不穿出环形区域，则粒子的初速度不能超过多少？

Answer 1

分析 （1）粒子垂直磁场方向进入磁场后在洛伦兹力的作用下做匀速圆周运动，要使粒子回到中心无磁场的圆形区域且过A点，画出运动轨迹，根据几何关系求解；
（2）当半径最大时，速度最大，根据洛伦兹力提供向心力求得最大速度．

解答 解：（1）如图所示，设粒子在磁场中的轨道半径为R₁，则由几何关系得：
${R}_{1}=\frac{\sqrt{3}}{3}r$
由$q{v}_{1}B=m\frac{{v}_{1}^{2}}{{R}_{1}}$
得：${v}_{1}=\frac{\sqrt{3}Bqr}{3m}$
（2）如图所示，设粒子在磁场中的轨道半径为R₂，则由几何关系得：
$（2r-{R}_{2}）^{2}={R}_{2}^{2}+{r}^{2}$
得：${R}_{2}=\frac{3r}{4}$
由：$q{v}_{2}B=m\frac{{v}_{2}^{2}}{{R}_{2}}$
得：${v}_{2}=\frac{3Bqr}{4m}$
故要使粒子不穿出环形区域，粒子的初速度不能超过$\frac{3Bqr}{4m}$．
答：（1）要想使该粒子经过磁场第一次通过A点，则初速度的大小是${v}_{1}=\frac{\sqrt{3}Bqr}{3m}$；
（2）要使粒子不穿出环形区域，则粒子的初速度不能超过${v}_{2}=\frac{3Bqr}{4m}$．

点评 本题关键明确带电粒子的运动规律，画出运动轨迹，然后根据几何关系求解出半径，再根据动能定理和向心力公式求解．