题目内容
18．如图所示，有一光滑轨道ABC，AB为竖直平面内半径为R的四分之一圆弧轨道，BC部分为足够长的水平轨道．一个质量为m1的小物体自A处由静止释放后沿圆弧轨道AB滑下，与在水平轨道BC上质量为m2的静止物体相碰．
（1）如果m2与水平轻弹簧相连，弹簧的另一端连在固定装置P上．m1滑到水平轨道后与m2发生碰撞但不粘连，碰撞后m1与m2-起将弹簧压缩后被弹回，m1与m2重新分开．若弹簧压缩和伸长过程中无机械能损失，且m1=m2，求m1反弹后能达到的最大高度；
（2）如果去掉与m2相连的弹簧及固定装置P，m1仍从A处由静止释放．若m1=$\frac{1}{2}$m2，m1与m2的碰撞过程中无机械能损失，求碰撞后m1能达到的最大高度；
（3）在满足第（2）问的条件下，若m1与m2的碰撞过程中无机械能损失，要使m1与m2只能发 生一次碰撞，求m2与m1的比值范围．
分析 （1）（2）m1从A滑到B机械能守恒，和m2发生碰撞时动量守恒，据此可求出碰撞时的共同速度，当弹簧恢复到自然长度时m1与m2重新分开，此时m1与m2的速度与此共同速度相等，然后根据机械能守恒即可求出m1能达到的最大高度．
（3）a．m1与m2发生碰撞时动量守恒同时机械能守恒，据此求出m1碰后速度，然后根据机械能守恒即可求出m1能达到的最大高度．
b．根据m1与m2发生碰撞时动量守恒、机械能守恒求出他们的碰后速度，注意第一次碰后m1的速度大于m2的速度，第二次m1的速度小于m2的速度，据此可正确解答．
解答 解：（1）m1从A滑到B重力势能转化为动能，m1的速度达到v1
${m}_{1}gR=\frac{1}{2}{m}_{1}{v}_{1}^{2}$ ①
m1与m2发生碰撞时弹簧处于自然状态，系统动量守恒，碰撞后以共同速度v共向右运动．
m1v1+m2v2=（m1+m2）v共 ②
联立①②解得：${v}_{共}=\frac{{v}_{1}}{2}=\frac{\sqrt{2gR}}{2}$
m1与m2一起将弹簧压缩后又被弹回，当弹簧恢复到自然长度时m1与m2重新分开，此时m1与m2的速度都为v共，m1以v共为初速度滑上圆弧轨道，设m1能达到的最大高度是h
$\frac{1}{2}{m}_{1}{v}_{共}^{2}={m}_{1}gh$
解得 $h=\frac{1}{4}R$
故m1反弹后能达到的最大高度为：$h=\frac{1}{4}R$．
（2）撤去弹簧及固定装置后．
a．m1与m2发生碰撞时系统动量守恒，且没有机械能损失．设向右为正方向，有
${m}_{1}{v}_{1}={m}_{1}{v}_{1}^{′}+{m}_{2}{v}_{2}^{′}$ ③
$\frac{1}{2}{m}_{1}{v}_{1}^{2}=\frac{1}{2}{m}_{1}（{v}_{1}^{′}）^{2}$$+\frac{1}{2}{m}_{2}（{v}_{2}^{′}）^{2}$ ④
代入${m}_{1}=\frac{1}{2}{m}_{2}$，联系③④可得：${v}_{1}^{′}=-\frac{1}{3}\sqrt{2gR}$，负号表示m1向左运动
此后m1冲上圆弧轨道，设m1能达到的最大高度是h′，有：
$\frac{1}{2}{m}_{1}（{v}_{1}^{′}）^{2}=mg{h}^{′}$
将${v}_{1}^{′}$带入上式，可得：${h}^{′}=\frac{1}{9}R$
故碰撞后m1能达到的最大高度为：${h}^{′}=\frac{1}{9}R$．
b．m1滑到水平轨道以速度v1与静止的m2发生第一次碰撞，设向右为正方向，有
${m}_{1}{v}_{1}={m}_{1}{v}_{1}^{′}+{m}_{2}{v}_{2}^{′}$
$\frac{1}{2}{m}_{1}{v}_{1}^{2}=\frac{1}{2}{m}_{1}（{v}_{1}^{′}）^{2}$$+\frac{1}{2}{m}_{2}（{v}_{2}^{′}）^{2}$
解得：${v}_{1}^{′}=\frac{（{m}_{1}-{m}_{2}）{v}_{1}}{{m}_{1}+{m}_{2}}$，${v}_{2}^{′}=\frac{2{m}_{1}{v}_{1}}{{m}_{1}+{m}_{2}}$
要能发生第二次碰撞的条件是${v}_{1}^{′}＜0$，即m1＜m2；且|${v}_{1}^{′}$|＞${v}_{2}^{′}$，即|m1-m2|＞2m1，可得
m2＞3m1 ⑤
m1从圆弧轨道上滑下，以大小为|${v}_{1}^{′}$|=$\frac{{m}_{2}-{m}_{1}}{{m}_{1}+{m}_{2}}{v}_{1}$的速度与速度为${v}_{2}^{′}=\frac{2{m}_{1}{v}_{1}}{{m}_{1}+{m}_{2}}$的m2发生第二次碰撞，有：
${m}_{1}|{v}_{1}^{′}|+{m}_{2}{v}_{2}^{′}={m}_{1}{v}_{1}^{″}$$+{m}_{2}{v}_{2}^{″}$
$\frac{1}{2}{m}_{1}（{v}_{1}^{′}）^{2}+\frac{1}{2}{m}_{2}（{v}_{2}^{′}）^{2}$=$\frac{1}{2}{m}_{1}（{v}_{1}^{″}）^{2}+\frac{1}{2}{m}_{2}（{v}_{2}^{″}）^{2}$
第二次碰后m1和 m2的速度
${v}_{1}^{″}=\frac{4{m}_{1}{m}_{2}-{（m}_{2}-{m}_{1}）^{2}}{（{m}_{1}+{m}_{2}）^{2}}{v}_{1}$ ⑥
${v}_{2}^{″}=\frac{4{m}_{1}（{m}_{2}-{m}_{1}）}{（{m}_{1}+{m}_{2}）^{2}}{v}_{1}$ ⑦
不发生第三次碰撞的条件为：|${v}_{1}^{″}$|≤${v}_{2}^{″}$
则：-4m1（m2-m1）≤$4{m}_{1}{m}_{2}-（{m}_{2}-{m}_{1}）^{2}$≤4m1（m2-m1）
解不等式$-4{m}_{1}（{m}_{2}-{m}_{1}）≤4{m}_{1}{m}_{2}-{（m}_{2}-{m}_{1}）^{2}$
得：$（5-2\sqrt{5}）{m}_{1}≤{m}_{2}≤（5+2\sqrt{5}）{m}_{1}$ ⑧
解不等式：$4{m}_{1}{m}_{2}-（{m}_{2}-{m}_{1}）^{2}≤4{m}_{1}（{m}_{2}-{m}_{1}）$
得 m2≥3m1 或m2≤-m1 ⑨（9）
综合⑤、⑧、⑨，m1与m2只能发生两次碰撞的条件为：$3＜\frac{{m}_{2}}{{m}_{1}}≤5+2\sqrt{5}$
故要使m1与m2只能发生两次碰撞，m2与 m1的比值范围为：$3＜\frac{{m}_{2}}{{m}_{1}}≤5+2\sqrt{5}$．
答：（1）m1反弹后能达到的最大高度是$\frac{1}{4}R$；（2）碰撞后m1能达到的最大高度是$\frac{1}{9}R$；（3）m2与m1的比值范围是$3＜\frac{{m}_{2}}{{m}_{1}}≤5+2\sqrt{5}$．
点评 本题考查了动量和能量问题，有一定的难度，难点在于数学运算，因此平时训练中要注意数学知识在物理中的应用．
| A． | $\frac{3{ω}^{2}}{4πG}$ | B． | $\frac{2{ω}^{2}}{3πG}$ | C． | $\frac{{ω}^{2}}{2πG}$ | D． | $\frac{{ω}^{2}}{4πG}$ |
如图所示，一个电阻为R的家用电炉和一个绕线电阻为r的电动机M并联接在电压恒定为U的电源上，电动机和电炉都正常工作，测得流经电炉和电动机的电流分别为I1、I2，电炉和电动机消耗的功率分别为P1、P2，产生的热功率分别为P3、P4，则下面关系中正确的是（ ）| A． | I2=$\frac{U}{r}$ | B． | P1＜$\frac{{U}^{2}}{R}$ | C． | P2=UI2 | D． | P4=I${\;}_{2}^{2}$r |
为了探究弹簧弹力F和弹簧伸长量x的关系，某同学选了A、B两根规格不同的弹簧进行测试，根据测得的数据绘出如图所示的图象，从图象上看，该同学没能完全按实验要求做，使图象上端成为曲线，图象上端成为曲线的原因是超过弹簧的弹性限度．B弹簧的劲度系数为100N/m．劲度系数较大的是B（填A或B）．（1）实验时使小车在砝码和托盘的牵引下运动，定量探究：在外力一定的条件下，加速度与质量的关系．
①实验准备了打点计时器及配套的电源、导线、复写纸及如图1所示的器材．若要完成该实验，必需的实验器材还有天平、刻度尺．
②实验开始时，先调节木板上定滑轮的高度，使牵引小车的细绳与木板平行．这样做的目的是D（填字母代号）
A、避免小车在运动过程中发生抖动
B、可使打点计时器在纸带上打出的点迹清晰
C、可以保证小车最终能够实验匀速直线运动
D、可在平衡摩擦力后使用细绳拉力等于小车受的合力
（2）连接细绳及托盘，在托盘中放入适量的砝码，通过实验得到图2所示的一段纸带，计数点A、B、C、D、E间的时间间隔为0.1s，根据这条纸带可求出：（结果保留两位有效数字）
①打点计时器在纸带上打下D点时小车的速度大小为0.21m/s；
②小车的加速度大小为0.43m/s2
（3）保证托盘和托盘中的砝码质量不变，改变放在小车的砝码质量，进行多次测量，得到小车加速度a、小车（含小车中的砝码）总质量m的数据如表所示：
| 实验次数 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| 小车加速度a/ms-2 | 0.77 | 0.38 | 0.25 | 0.19 | 0.16 |
| 小车总质量m/kg | 0.20 | 0.40 | 0.60 | 0.80 | 1.00 |
如图所示为一光导纤维（可简化为一长玻璃丝）的示意图，AB代表端面，为使光线能从玻璃丝的AB端面传播到另一端面，则（ ）| A． | 光导纤维外包层材料应是光密介质 | |
| B． | 红光在光导纤维内部侧壁上发生全反射的临界角小于紫光的临界角 | |
| C． | 红光从玻璃丝的AB端面传播到另一端面所需的最长时间比紫光长 | |
| D． | 红光从玻璃丝的AB端面传播到另一端面所需的最短时间比紫光短 |
某电视台的娱乐节目正在策划一个射击项目．如图所示，他们制作了一个大型的圆盘射击靶，半径R=0.8m，沿半径方向等间距画有10个同心圆（包括边缘处，两同心圆所夹区域由外向内分别标注1，2，3…10环），圆盘射击靶固定于水平地面上．C点位于靶心正上方圆盘边缘处，B点位于水平平台的边缘处，BC与地面平行且与圆盘垂直，BC=1.2m．平台上处于原长的弹簧右端固定，左端A点与小球接触但不粘连，小球的质量m=0.02kg，现用水平向右的推力将小球从A点缓慢推至D点（弹簧仍在弹性限度内），推力所做的功是W=0.025J，当撤去推力后，小球沿平台向左运动，从B点飞出，最后刚好击中靶心．小球在A点右侧不受摩擦力，小球在AB间的动摩擦系数为0.2，不计空气阻力，取g=m/s2，求：
如图所示，A、B两点固定两个等量正点电荷，在A、B连线的中点C处放一个不计重力的点电荷，给该点电荷一个与AB连线垂直的初速度，则该点电荷可能做（ ）| A． | 往复直线运动 | |
| B． | 匀变速直线运动 | |
| C． | 加速度不断减小，速度不断增大的直线运动 | |
| D． | 加速度先增大后减小，速度不断增大的直线运动 |