Question

17．假定一物体在下落时受到的空气阻力与它的速度平方成正比，已知物体的速度达到40m/s后就匀速下落，则当它的速度为10m/s时，其下落加速度等于重力加速度的多少倍？

Answer 1

分析 当物体匀速下落时，重力与空气阻力平衡，大小相等．当物体的速度为10m/s时，重力与空气阻力的合力产生加速度，由牛顿第二定律列出加速度的表达式，由f=kv²，分别列出速度为40m/s时和10m/s时空气阻力表达式，联立求解加速度．

解答 解：速度达到40m/s后就匀速下落，物体匀速下落时，重力与空气阻力平衡，大小相等，
  即有 mg=kv₁²   ①
当物体的速度为10m/s时，空气阻力大小为kv₂²．由牛顿第二定律得
    mg-kv₂²=ma   ②
将①代入②得
   mg-$\frac{mg}{{{v}_{1}}^{2}}•{{v}_{2}}^{2}$=ma
得到  $\frac{a}{g}$=（1-$\frac{{{v}_{2}}^{2}}{{{v}_{1}}^{2}}$）=1-$\frac{1}{16}$=0.9375
答：其下落加速度等于重力加速度的0.9375倍．

点评 本题是平衡条件与牛顿第二定律的综合应用，关键是列出空气阻力的表达式．即便题干中没有表达式f=kv²，由题设条件也能写出这样的式子．