题目内容

16．如图，位于竖直平面内的光滑轨道由四分之一圆弧ab和抛物线bc组成，圆弧半径Oa水平，b点为抛物线顶点．已知h=2m，s=$\sqrt{2}$m．取重力加速度大小g=10m/s2．
（1）一小环套在轨道上从a点由静止滑下，当其在bc段轨道运动时，与轨道之间无相互作用力，求圆弧轨道的半径；
（2）若环从b点由静止因微小扰动而开始滑下，求环到达c点时速度的水平分量的大小．

分析 （1）当其在bc段轨道运动时，与轨道之间无相互作用力，则在bc上只受重力，做平抛运动，根据平抛运动基本公式求出b点速度，再根据动能定理求解R；
（2）下滑过程中，初速度为零，只有重力做功，b到c的过程中，根据动能定理列式，根据平抛运动基本公式求出c点速度方向与竖直方向的夹角，再结合运动的合成与分解求解．

解答 解：（1）当其在bc段轨道运动时，与轨道之间无相互作用力，则在bc上只受重力，做平抛运动，则有：
$t=\sqrt{\frac{2h}{g}}$=$\sqrt{\frac{2×2}{10}}=\sqrt{0.4}s$①
则在b点的速度${v}_{0}=\frac{s}{t}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{0.4}}=\sqrt{5}m/s$②，
从a到b的过程中，根据动能定理得：
$\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}=mgR$③
解得：R=0.25m．
（2）从b点下滑过程中，初速度为零，只有重力做功，b到c的过程中，根据动能定理得：
$mgh=\frac{1}{2}m{{v}_{c}}^{2}$④
因为物体滑到c点时与竖直方向的夹角等于（1）问中做平抛运动过程中经过c点时速度与竖直方向的夹角相等，设为θ，
则根据平抛运动规律可知$sinθ=\frac{{{v}_{0}}^{\;}}{\sqrt{{{v}_{0}}^{2}+2gh}}$⑤，
根据运动的合成与分解可得$sinθ=\frac{{v}_{水平}}{{v}_{c}}$⑥
由①②③④⑤⑥解得：v水平=$\frac{2}{3}\sqrt{10}$m/s
答：
（1）圆弧轨道的半径为0.25m；
（2）环到达c点时速度的水平分量的大小为$\frac{2}{3}\sqrt{10}$m/s．

点评 本题主要考查了平抛运动基本公式、动能定理以及运动的合成与分解的应用，解题的关键是能正确分析物体的受力情况和运动情况，特别抓住当其在bc段轨道运动时，与轨道之间无相互作用力这句话，难度适中．

练习册系列答案
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