Question

3．如图1所示，竖直放置的光滑圆轨道半径为R，A、B为圆轨道内表面的最低点和最高点，在A、B两位置装有压力传感器，可以测量小球经过该位置时对轨道的压力F．一质量为m的小球置于轨道最低点A处，现给小球一水平向右的初速度v，使其沿圆轨道运动；改变小球的初速度v的大小，测量小球在A、B位置对轨道压力F_A、F_B（C、D选项中为小球第1次经过B时）的大小，根据测量数据描绘出相应的F-v²图象为相互平行的直线，如图2所示．重力加速度为g，则（　　）

• A． 图象中v₀=$\sqrt{5gR}$
• B． 图象中F₀的数值为4mg
• C． 若圆轨道不光滑，F₀=7mg，则按图中F₀所表示的对应过程从A点经过半个圆周到达B点，小球克服摩擦力做功0.5mgR
• D． 若圆轨道不光滑，但假设小球运动到环的各处时摩擦力大小与速度无关，则上述两条F-v²图象依然平行

Answer 1

分析 小球经过A点和B点时，由合力充当向心力，根据牛顿第二定律和机械能守恒定律列出F_A和F_B与v的关系式，再结合图象信息解答．

解答 解：A、小球做圆周运动，由牛顿第二定律得：
在A点，有：F_A-mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$，得 F_A=m$\frac{{v}^{2}}{R}$+mg…①
则F_A-v²图线的斜率为$\frac{m}{R}$．
在B点，有：F_B+mg=m$\frac{{v}_{B}^{2}}{R}$…②
从A到B，根据机械能守恒定律得：2mgR+$\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$=$\frac{1}{2}$mv²…③
联立①②③得：F_B=m$\frac{{v}^{2}}{R}$-5mg…④
则F_B-v²图线的斜率为$\frac{m}{R}$．
由数学知识可知，两图象平行．
当F_B=0时，由④得：m$\frac{{v}_{\;}^{2}}{R}$=5mg，v=$\sqrt{5gR}$，即得v₀=$\sqrt{5gR}$，故A正确．
B、当F_B=0时，v=$\sqrt{5gR}$，代入①得：F_A=6mg，因此图象中F₀的数值为6mg．故B错误．
C、若圆轨道不光滑，F₀=7mg，此时小球恰好到达B点，在A点有：7mg-mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$，得 v=$\sqrt{6gR}$
在B点，有 mg=m$\frac{{v}_{B}^{2}}{R}$
从A到B的过程，由动能定理得：-2mgR-W_f=$\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{A}^{2}$
解得，小球克服摩擦力做功 W_f=0.5mgR，故C正确．
D、若圆轨道不光滑，且小球运动到环的各处时摩擦力大小与速度无关，③、④式仍成立，可知两图象仍平行，故D正确．
故选：ACD

点评 要研究图象的物理意义，关键要根据物理规律得到解析式，再通过研究图象的数学意义来研究其物理意义．