题目内容
【题目】如图甲所示，一长为l=1m的轻绳，一端穿在过O点的水平转轴上，另一端固定一质量为m的小球，整个装置绕O点在竖直面内转动。给系统输入能量，使小球通过最高点的速度不断加快，通过传感器测得小球通过最高点时，绳对小球的拉力F与小球在最高点动能Ek的关系如图乙所示，重力加速度为g，不考虑摩擦和空气阻力，请分析并回答以下问题：
(1)若要小球能做完整的圆周运动，对小球过最高点的速度有何要求？（用题中给出的字母表示）。
(2)请根据题目及图像中的条件求出小球质量m的值。（g取10m/s2）
(3)求小球从图中a点所示状态到图中b点所示状态的过程中，外界对此系统做的功。
(4)当小球达到图乙中b点所示状态时，立刻停止能量输入。之后的运动过程中，在绳中拉力达到最大值的位置，轻绳绷断，求绷断瞬间绳中拉力的大小。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
；（4）
【解析】试题分析：（1）小球刚好通过最高点做完整的圆周运动要求在最高点受力满足：
因此小球过最高点的速度要满足：。
（2）小球在最高点时有：
又因为：
，
所以绳对小球的拉力F与小球在最高点动能Ek的关系式为：
由图像知，当
时，
，代入上式得到：
；又已知
，则小球的质量。
（3）由知：图线的斜率值为
，因此对应状态b，
，可求出小球在最高点的动能，由
，得到：。
（或：由，将
、
、
代入，可求得：
）
对小球从状态a到状态b的过程，有：
外界对系统做的功为
。
（4）在停止能量输入之后，小球在重力和轻绳拉力作用下在竖直面内做圆周运动，运动过程中机械能守恒。当小球运动到最低点时，绳中拉力达到最大值。
设小球在最低点的速度为v，对从b状态开始至达到最低点的过程应用机械能守恒定律，有：
；
设在最低点绳中拉力为Fm，由牛顿第二定律有：
两式联立解得：
。
即绷断瞬间绳中拉力的大小为。
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