题目内容

5．如图所示，质量为M且足够长的木板放在光滑水平面上，其右端有一质量为m、可视为质点的滑块，滑块与木板问的动摩擦因数为μ．劲度系数为k的水平轻弹簧的右端O固定不动，其自由端A与滑块的距离为L．现给木板一水平向右的瞬时速度v0，滑块将由静止开始向右运动，与弹簧接触后经过一段时间向右运动的速度到达最大，且滑块的速度始终小于木板的速度（弹簧在形变在弹性限度内，重力加速度大小为g，不计空气阻力）求：
（1）滑块刚接触弹簧对滑块的速度大小v1和木板的速度大小v2
（2）滑块向右运动的速度到达最大值的过程中，弹簧的压缩量x及弹簧对滑块所做的功W（已知弹簧对滑块所做的功可用公式W=-$\frac{1}{2}$kx2计算，其中x表示弹簧被压缩的长度）
（3）滑块向右运动的最大速度vmax．

分析 （1）滑块在接触弹簧之前，在滑动摩擦力作用下由静止开始做匀加速直线运动，由动能定理可以求得滑块的速度v1，对滑块和木块组成的系统，由动量守恒定律可以求得木板的速度v2；
（2）滑块接触弹簧向右运动的过程中，当滑块受到的滑动摩擦力和弹簧弹力相等时，加速度为0，此时速度达到最大值，可以求出此时弹簧的被压缩的长度，由于弹簧弹力与弹簧被压缩的长度成正比，故可根据公式求得W；
（3）对木板用动量定理可以算出木板的速度，再对滑块和木板分别用动能定理即可解出．

解答 解：（1）滑块在接触弹簧之前，在滑动摩擦力作用下由静止开始做匀加速直线运动了L距离，
由动能定理得；μmgL=$\frac{1}{2}m{{v}_{1}}^{2}$
解得：v1=$\sqrt{2μgL}$
对滑块和木块组成的系统，由动量守恒定律得：Mv0=Mv2+mv1
解得：v2=v0-$\frac{m}{M}\sqrt{2μgL}$
（2）滑块接触弹簧向右运动的过程中，当滑块受到的滑动摩擦力和弹簧弹力相等时，加速度为0，此时速度达到最大值，此时弹簧的被压缩的长度为x，则：
μmg=kx解得：x=$\frac{μmg}{k}$
由于弹簧弹力与弹簧被压缩的长度成正比，所以有W=-$\frac{1}{2}kx•\;x$=-$\frac{{μ}^{2}{m}^{2}{g}^{2}}{2k}$
（3）滑块向右运动速度达到最大值时，设滑块的最大速度为vm时木板速度大小为v，在弹簧被压缩的长度为x的过程中，
对木板由动量定理得：
-μmgt=M（v-v2）
解得：v=v0-$\frac{m}{M}\sqrt{2μgL}$-$\frac{μmgt}{M}$
分别对滑块和木板用动能定理得：
μmgx+W=$\frac{1}{2}m\;{{v}_{m}}^{2}$-$\frac{1}{2}m{{v}_{1}}^{2}$
-μmg（L+x+s）=$\frac{1}{2}M{{v}_{\;}}^{2}\;-\frac{1}{2}M{{v}_{0}}^{2}$
解得：vm=$\sqrt{\frac{{μ}^{2}m{g}^{2}}{k}+2μgL}$
s=$\frac{M}{2μmg}[{{v}_{0}}^{2}-{（\;{v}_{0}-\frac{m}{M}\sqrt{2μgL}-\frac{μmgt}{M}）}^{2}]\;-\frac{μmg}{k}-L$
答：（1）滑块刚接触弹簧时滑块的速度v1大小为$\sqrt{2μgL}$，木板的速度v2大小为v0-$\frac{m}{M}\sqrt{2μgL}$；
（2）滑块向右运动的速度达到最大值的过程中，弹簧对滑块所做的功W为-$\frac{{μ}^{2}{m}^{2}{g}^{2}}{2k}$；
（3）滑块向右运动的速度最大值vm为$\sqrt{\frac{{μ}^{2}m{g}^{2}}{k}+2μgL}$．

点评 该题考查了动量守恒定律和动能定理相关知识点的综合应用，难度较大，要求同学们能够根据题目要求正确选取研究对象和研究过程，运用动量守恒定律和动能定理解题，该题要注意当滑块受到的滑动摩擦力和弹簧弹力相等时，加速度为0，此时速度达到最大值．

练习册系列答案
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