Question

如图所示．在竖直平面内一个带正电的小球质量为m，所带的电荷量为q，用一根长为L不可伸长的绝缘细线系在一匀强电场中的O点．匀强电场方向水平向右，分布的区域足够大．现将带正电小球从O点右方由水平位置A点无初速度释放，小球到达最低点B时速度恰好为零．
（1）求匀强电场的电场强度E的大小．
（2）若小球从O点的左方由水平位置C点无初速度释放，则小球到达最低点B所用的时间t是多少？
（3）此后小球能达到的最大高度H（相对于B点）是多少？

Answer 1

分析：（1）小球从A运动到B的过程中，重力做功为mgL，电场力做功为-qEL，根据动能定理求解电场强度E；
（2）若小球从O点的左方由水平位置C点无初速度释放，小球先沿重力和电场力的合力方向做匀加速直线运动，绳子绷紧后做圆周运动，绳子绷紧的瞬间，小球沿绳子方向的分速度突然减至零．根据牛顿第二定律求出匀加速运动的加速度，由位移公式求解时间；
（3）绳子绷紧后小球以沿圆周切线方向的分速度为初速度做圆周运动，根据动能定理求解小球能达到的最大高度H．

解答：解：（1）对小球由A到B的过程，由动能定理得
   0=mgL-qEL
∴E=

mg

q

（2）小球由C点释放后，将沿重力和电场力的合力方向做匀加速直线运动，到B点时的速度为v_B．
小球做匀加速直线运动的加速度为a，则
  a=

2 mg

m

=

2

g
 

v

2 B

=2a?

2

L
则t=

vB

a

=

2L g

（3）小球到B点时丝线恰好拉紧．将v_B分解为v_B1和v_B2，v_B1=v_Bcos45°=

2gL

此后小球以v_B1作圆周运动．设运动到D点恰好速度为0，
对小球由B点到 D点的过程，由动能定理得
 0-

1

2

m

v

2 B1

=-mg （L+Lsinθ）+qEL cosθ
∴θ=45°
在到达D点前小球一直沿圆轨道运动，所以小球离B点的最大高度
H=L+Lsinθ=

2+ 2

2

L
答：（1）匀强电场的电场强度E的大小是

mg

q

．
（2）若小球从O点的左方由水平位置C点无初速度释放，小球到达最低点B所用的时间t是

2L g

．
（3）此后小球能达到的最大高度H（相对于B点）是

2+ 2

2

L．

点评：本题根据动能定理求解电场强度和最大高度，都是常用的方法和思路，关键之处在于绳子绷紧瞬间，要抓住小球的速度会突变，沿绳子方向的分速度突然减至零．