Question

5．如图所示，劲度系数为k的轻弹簧，左端连着绝缘介质小球B，右端连在固定板上，放在光滑绝缘的水平面上．整个装置处在场强大小为E、方向水平向右的匀强电场中．现把一质量为m、带电荷量为+q的小球A，从距B球为s处自由释放，并与B球发生正碰．碰撞中无机械能损失，且A球的电荷量始终不变．已知B球的质量M=3m，B球被碰后作周期性运动，其运动周期T=2π$\sqrt{\frac{M}{k}}$（A、B小球均可视为质点）．求：
（1）A球与B球相碰前A的速度大小；
（2）两球第一次碰撞后瞬间，A球的速度v₁和B球的速度v₂；
（3）要使A球与B球第二次仍在B球的初始位置迎面相碰，弹簧劲度系数k的可能取值．

Answer 1

分析 （1）小球A从距B球为S处自由释放后，在电场力作用下做匀加速运动，根据动能定理求解与B球碰撞前瞬间的速度v₀；
（2）碰撞过程中A、B的总动量守恒、机械能也守恒，即可由两大守恒定律求解球与B球第一次碰撞后瞬间，A球的速度v₁和B球的速度v₂；
（3）B球被碰后做简谐运动，具有周期性，A向左做匀减速运动，要使A球与B球第二次仍在B球的初始位置迎面相碰，A球重新回到O处所用的时间t恰好等于B球的（n+$\frac{1}{2}$）T．根据牛顿第二定律和运动学公式结合求出A运动时间t，即可求解出劲度系数k的可能取值．

解答 解：（1）设A球与B球碰撞前瞬间的速度为v₀，由动能定理得：
qES=$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
解得：v₀=$\sqrt{\frac{2qES}{m}}$
（2）碰撞过程中动量守恒，设向右为正方向；则有：
mv₀=mv₁+Mv₂
机械能无损失，有：$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$=$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$+$\frac{1}{2}M{v}_{2}^{2}$
联立上两式解得 v₁=-$\frac{1}{2}{v}_{0}$=-$\sqrt{\frac{2qES}{m}}$ 方向向左，v₂=$\frac{1}{2}{v}_{0}$=$\sqrt{\frac{2qES}{m}}$ 方向向右．
（3）要使m与M第二次迎面碰撞仍发生在原位置，则必有A球重新回到O处所用的时间t恰好等于B球的（n+$\frac{1}{2}$）T．（n=0、1、2、3 …）
A球运动的加速度为 a=$\frac{qE}{m}$，t=$\frac{2{v}_{1}}{a}$=（n+$\frac{1}{2}$）T，
又由题意，T=2π$\sqrt{\frac{M}{k}}$，
解得：$k=\frac{{6{π^2}qE}}{S}{（n+\frac{1}{2}）^2}$=$\frac{3{π}^{2}qE（2n+1）^{2}}{2s}$（n=0、1、2、3 …）
答：
（1）A球与B球碰撞前瞬间的速度v₀是$\sqrt{\frac{2qES}{m}}$．
（2）A球与B球第一次碰撞后瞬间，A球的速度v₁大小$\sqrt{\frac{2qES}{m}}$，方向向左．B球的速度v₂是$\sqrt{\frac{2qES}{m}}$，方向向右．
（3）劲度系数k的可能取值是$\frac{3{π}^{2}qE（2n+1）^{2}}{2s}$（n=0、1、2、3 ）

点评 本题是综合性很强的题目，运用到动能定理、动量守恒、机械能守恒、运动学公式、牛顿定律，难点是抓住简谐运动的周期性，得到A球运动时间的通项，即可求出K的可能值．