Question

【题目】如图所示，半径R＝1.0m的光滑圆弧轨道固定在竖直平面内，轨道的一个端点B和圆心O的连线与水平方向间的夹角θ＝37°，另一端点C为轨道的最低点．C点右侧的水平路面上紧挨C点放置一木板，木板质量M＝1kg，上表面与C点等高．质量m＝1kg的物块 （可视为质点）从空中A点以v0＝1.2m/s的速度水平抛出，恰好从轨道的B端沿切线方向进入轨道．已知物块与木板间的动摩擦因数μ1＝0.2，木板与路面间的动摩擦因数μ2＝0.05，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，取g＝10m/s2，设木板受到的最大静摩擦力跟滑动摩擦力相等．试求：

(1)物块经过轨道上的B点时的速度大小；

(2)物块经过轨道上的C点时对轨道的压力；

(3)木板至少多长才能使物块不从木板上滑下？

(4)若木板足够长，请问从开始平抛至最终木板、物块都静止，整个运动过程中，物块与木板间产生的内能为多少？木板与地面间产生的内能为多少？共产生的内能为多少？

Answer 1

【答案】(1)2m/s (2)46N (3)6m (4)物块与木板产生的内能为12J，木板与地面产生的内能为6J，共产生的内能为18J

【解析】

(1)物块从到做平抛运动，由速度分解即可求得经过点时的速度大小；

(2)根据动能定理可求得点的速度，由向心力公式可求得物块在点受到的支持力，由牛顿第三定律可求得对轨道的压力；

(3)由牛顿第二定律可求得物块和木板的加速度，要使物块不掉下去，两物体最后应达到相同速度并且物块刚好到达木板的最右端，由运动学公式可求得木板的长度。

(4)运用运动学公式求出物块和木板对地的位移，根据相对位移求物块与木板间产生的内能。根据木板对地的位移求木板与地面间产生的内能。

(1)根据末速度和竖直方向的夹角为，根据运动的分解知：

(2)从到应用动能定理

解得

在点应用牛顿第二定律：

解得：

由牛顿第三定律可知物块经过圆轨道上的点时对轨道的压力为；

(3)物快在木板上滑动时，设物块和木板的加速度大小分别为、，根据牛顿第二定律，

对物块有：

对木板有：

联立并代入数据解得：，；

设物快和木板经过时间达到共同速度，其位移分别为、，则：

对物块：

对木板：

联立并代入数据解得：，

设木板长度至少为

时间内物块的位移：

时间内木板的位移：

由题意得：

即木板长度至少才能使物块不从木板上滑下

(4) 设物块与木板速度相同一起滑行的距离为．则它们共同的加速度大小为：

所以，整个运动过程中，物块与木板间产生的内能为：

木板与地面间产生的内能为：

共产生的内能为：