Question

12．探测火星一直是人类的梦想，若在未来某个时刻，人类乘飞船来到了火星，宇航员先乘飞船绕火星做圆周运动，测出飞船坐圆周运动时离火星表面的高度为H，环绕的周期为T及环绕的线速度为v，引力常量为G，由此可得出（　　）

• A． 火星的半径为$\frac{vT}{2π}$
• B． 火星表面的重力加速度为$\frac{{2πT{v^3}}}{{{{（vT-2πH）}^2}}}$
• C． 火星的质量为$\frac{{T{v^2}}}{2πG}$
• D． 火星的第一宇宙速度为$\sqrt{\frac{{4{π^2}{v^2}T}}{{G{{（vT-πH）}^3}}}}$

Answer 1

分析 根据圆周运动公式求出火星半径，根据万有引力提供向心力求出火星的质量，根据重力和万有引力相等得出火星表面的重力加速度．

解答 解：A、飞船在离火星表面的高度为H表面做匀速圆周运动，轨道半径等于火星的半径R加上H，根据：$v=\frac{2π（R+H）}{T}$，得$R+H=\frac{vT}{2π}$，故A错误；
B、C、根据万有引力提供向心力，有：$\frac{GMm}{（R+H）^{2}}=\frac{m•4{π}^{2}}{{T}^{2}}（R+H）$，得火星的质量为：M=$\frac{4{π}^{2}（R+H）^{3}}{G{T}^{2}}$，
在火星的表面有：mg=$\frac{GMm}{{R}^{2}}$
所以：g=$\frac{GM}{{R}^{2}}$=$\frac{{2πT{v^3}}}{{{{（vT-2πH）}^2}}}$．故B正确，C错误；
D、第一宇宙速度为：$v=\sqrt{\frac{GM}{R}}=\sqrt{gR}$=$\sqrt{\frac{2πT{v}^{3}}{{（vT-2πH）}^{2}}（\frac{vT}{2π}-H）}$=$\sqrt{\frac{T{v}^{3}}{vT-2πH}}$．故D错误；
故选：B

点评 本题考查了万有引力定律在天体中的应用，关键是万有引力提供向心力和万有引力等于重力这两个理论，并能灵活运用．