题目内容

12.探测火星一直是人类的梦想,若在未来某个时刻,人类乘飞船来到了火星,宇航员先乘飞船绕火星做圆周运动,测出飞船坐圆周运动时离火星表面的高度为H,环绕的周期为T及环绕的线速度为v,引力常量为G,由此可得出(  )
A.火星的半径为$\frac{vT}{2π}$
B.火星表面的重力加速度为$\frac{{2πT{v^3}}}{{{{(vT-2πH)}^2}}}$
C.火星的质量为$\frac{{T{v^2}}}{2πG}$
D.火星的第一宇宙速度为$\sqrt{\frac{{4{π^2}{v^2}T}}{{G{{(vT-πH)}^3}}}}$

分析 根据圆周运动公式求出火星半径,根据万有引力提供向心力求出火星的质量,根据重力和万有引力相等得出火星表面的重力加速度.

解答 解:A、飞船在离火星表面的高度为H表面做匀速圆周运动,轨道半径等于火星的半径R加上H,根据:$v=\frac{2π(R+H)}{T}$,得$R+H=\frac{vT}{2π}$,故A错误;
B、C、根据万有引力提供向心力,有:$\frac{GMm}{(R+H)^{2}}=\frac{m•4{π}^{2}}{{T}^{2}}(R+H)$,得火星的质量为:M=$\frac{4{π}^{2}(R+H)^{3}}{G{T}^{2}}$,
在火星的表面有:mg=$\frac{GMm}{{R}^{2}}$
所以:g=$\frac{GM}{{R}^{2}}$=$\frac{{2πT{v^3}}}{{{{(vT-2πH)}^2}}}$.故B正确,C错误;
D、第一宇宙速度为:$v=\sqrt{\frac{GM}{R}}=\sqrt{gR}$=$\sqrt{\frac{2πT{v}^{3}}{{(vT-2πH)}^{2}}(\frac{vT}{2π}-H)}$=$\sqrt{\frac{T{v}^{3}}{vT-2πH}}$.故D错误;
故选:B

点评 本题考查了万有引力定律在天体中的应用,关键是万有引力提供向心力和万有引力等于重力这两个理论,并能灵活运用.

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