Question

11．天文台一观测员通过天文望远镜测得某行星的半径为R，同时还测得距该行星表面高为R处有一颗卫星，其绕行周期为T，若引力常量为G．求：
（1）该行星的第一宇宙速度；
（2）该行星的平均密度．

Answer 1

分析 （1）根据万有引力提供向心力，求出行星的质量，根据万有引力提供向心力求出行星的第一宇宙速度．
（2）根据行星的质量，结合行星的体积求出行星的平均密度．

解答 解：（1）根据$G\frac{Mm}{（2R）^{2}}=m•2R\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$得，
行星的质量M=$\frac{32{π}^{2}{R}^{3}}{G{T}^{2}}$．
根据$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{R}$得，v=$\sqrt{\frac{GM}{R}}=\frac{4\sqrt{2}πR}{T}$．
（2）行星的平均密度$ρ=\frac{M}{V}=\frac{\frac{32{π}^{2}{R}^{3}}{G{T}^{2}}}{\frac{4}{3}π{R}^{3}}=\frac{24π}{G{T}^{2}}$．
答：（1）行星的第一宇宙速度为$\frac{4\sqrt{2}πR}{T}$．
（2）行星的平均密度为$\frac{24π}{G{T}^{2}}$．

点评 解决本题的关键掌握万有引力提供向心力这一重要理论，并能灵活运用，知道第一宇宙速度等于贴近星球表面做圆周运动的速度．