题目内容

9．近代的材料生长和微加工技术，可制造出一种使电子的运动限制在半导体的一个平面内（二维）的微结构器件，且可做到电子在器件中像子弹一样飞行，不受杂质原子射散的影响．这种特点可望有新的应用价值．图1所示为四端十字形，二维电子气半导体，当电流从l端进入时，通过控制磁场的作用，可使电流从 2、3或4端流出．对下面摸拟结构的研究，有助于理解电流在上述四端十字形导体中的流动．在图2中，a、b、c、d为四根半径都为R的圆柱体的横截面，彼此靠得很近，形成四个宽度极窄的狭缝1、2、3、4，在这些狭缝和四个圆柱所包围的空间（设为真空）存在匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里．一个质量为m、电荷量为q的带正电的粒子，由静止经电场加速后，在纸面内以速度v0沿与a、b都相切的方向由缝1射入磁场内，与其中一个圆柱表面发生一次弹性碰撞（碰撞无机械能损失），从缝2处且沿与b、c都相切的方向射出，碰撞时间极短，且碰撞不改变粒子的电荷量，也不受摩擦力作用，重力忽略不计．加速电场两板间距为d，两极板厚度不计且其右极板与圆柱a、b同时相切．

（1）求加速电场电压U．
（2）求磁感应强度B．
（3）求从由静止加速到从缝2射出所用的时间t．

分析 （1）在电场中加速，根据动能动能定理计算速度的大小；
（2）粒子从缝1进入磁场，在洛仑兹力作用下作圆周运动，圆轨道在原点与x轴相切，故其圆心必在y轴上．由数学知识得到轨迹圆的方程，由几何知识得到碰撞处的坐标与R的关系式，联立求解得到r；然后由牛顿第二定律列方程得到B；
（3）利用圆周运动的周期来计算运动时间；

解答 解：（1）粒子由静止在电场中加速：$qU=\frac{1}{2}m{v}^{2}$…（1）
解得：$U=\frac{m{v}^{2}}{2q}$…（2）
（2）在图中纸面内取Oxy坐标（如图），原点在狭缝l处，x轴过缝1和缝3．粒子从缝1进入磁场，在洛仑兹力作用下作圆周运动，圆轨道在原点与x轴相切，故其圆心必在y轴上．若以r表示此圆的半径，则圆方程为：
x2+（ r-y）2=r2…（3）
根据题的要求和对称性可知，粒子在磁场中作圆周运动时应与d，的柱面相碰于缝3、4间的圆弧中点处，碰撞处的坐标为：
x=2R-Rsin45°…（4）
y=R-R cos45°…（5）
由（3）、（4）、（5）式得：r=3R…（6）
由3456式可写为由数学几何知识可得：r=3R，
由洛仑兹力和牛顿定律有：qv0B=m$\frac{{{v}_{0}}^{2}}{r}$…（7）
由（6）、（7）式得：B=$\frac{m{v}_{0}}{3qR}$…（8）
（3）在电场中加速用时：${t}_{1}=\frac{d}{\frac{{v}_{0}}{2}}$…9）
在磁场中转过两段圆弧，设每段圆弧对应圆心角为θ有：$sinθ=\frac{x}{r}$…（10）
且磁场中用时：${t}_{2}=\frac{2rθ}{{v}_{0}}$…（11）
${t}_{3}=\frac{R}{{v}_{0}}$…（12）
总共用时：t=t1+t2+t3…（13）
由（4）、（9）、（10）、（11）、（12）式得：
$t=\frac{2d+6Rarcsin\frac{4-\sqrt{2}}{6}}{{v}_{0}}+\frac{R}{{v}_{0}}$…（14）
答：（1）加速电场电压U为$\frac{m{v}^{2}}{2q}$．
（2）磁感应强度B为$\frac{m{v}_{0}}{3qR}$．
（3）由静止加速到从缝2射出所用的时间t为$\frac{2d+6Rarcsin\frac{4-\sqrt{2}}{6}}{{v}_{0}}+\frac{R}{{v}_{0}}$．

点评 带电粒子在磁场中的运动，一般应先明确粒子运动的圆心和半径，再根据题意作出带电子的可能的运动轨迹；再根据几何关系及相应的数学知识进行求解，一般作为压轴题呈现，难度较大．

练习册系列答案
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19．长直导线与矩形线框abcd处在同一平面中静止不动，如图甲所示．长直导线中通以大小和方向都随时间做周期性变化的电流，i-t图象如图乙所示．规定沿长直导线方向上的电流为正方向．关于最初一个周期内矩形线框中感应电流的方向，下列说法正确的是（　　）
A．由顺时针方向变为逆时针方向
B．由逆时针方向变为顺时针方向
C．由顺时针方向变为逆时针方向，再变为顺时针方向
D．由逆时针方向变为顺时针方向，再变为逆时针方向
20．m为在水平传送带上被传送的小物体（可视为质点），小物体在运动过程中忽略空气阻力，A为终端皮带轮，如图所示，已知皮带轮半径为r，当地重力加速度为g，传送带与皮带轮间不会打滑，当在m可被水平抛出的情况下（　　）
A．皮带的最小速度为$\sqrt{gr}$
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17．如图所示，A、B是两个完全相同的灯泡，B灯与电阻R串联，A灯与自感系数较大的线圈L串联，其直流电阻忽略不计．电源电压恒定不变，下列说法正确的是（　　）
A．当电键K闭合时，A比B先亮，然后A熄灭
B．当电键K闭合时B比A先亮，最后A比B亮
C．当电键K断开时，B先熄灭，A后熄灭
D．当电键K断开时，B先闪亮一下然后与A同时熄灭
4．物理关系式不仅反映了物理量之间的关系，也确定了单位间的关系．如关系式U=IR既反映了电压、电流和电阻之间的关系，也确定了V（伏）与A（安）和Ω（欧）的乘积等效，即V与A•Ω等效．现有物理量单位：m（米）、s（秒）、N（牛）、J（焦）、W（瓦）、C（库）、F（法）、A（安）、Ω（欧）和T（特），由他们组合成的单位都与电压单位V（伏）等效的是（　　）
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14．如图所示是光电管的原理图，已知当有波长为λ0的光照射到阴极K上时，电路中有光电流，则下列说法不正确的是（　　）
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1．如图甲所示，细线下悬挂一个除去了柱塞的注射器，注射器可在竖直面内摆动，且在摆动过程中能持续向下流出一细束墨水．沿着与注射器摆动平面垂直的方向匀速拖动一张硬纸板，摆动的注射器流出的墨水在硬纸板上形成了如图所示的曲线．注射器喷嘴到硬纸板的距离很小，且摆动中注射器重心的高度变化可忽略不计．在同一铁架台上，用大小、形状相同而质量分别为m1、m2的注射器，并分别以v1、v2的速度拖动硬纸板做了两次实验，得到了如图乙、丙所示的两条曲线，若按图乙、丙所示建立xOy坐标系，则硬纸板上的墨迹所呈现的图样可视为注射器振动的图象．下列说法正确的是（　　）
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18．如图所示：长为L、倾角为θ的光滑绝缘斜面处于电场中，一带电量为+q、质量为m的小球以初速度v0从斜面底端A点开始沿斜面上滑，当到达斜面顶端B点时，速度仍为v0，则（　　）
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19．关于宇宙速度，下列说法正确的是（　　）
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B．第一宇宙速度是人造地球卫星绕地球飞行的最小速度
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