Question

（16分）在如图所示xoy坐标系第一象限的三角形区域（坐标如图中所标注）内有垂直于纸面向外的匀强磁场，在x 轴下方有沿＋y方向的匀强电场，电场强度为E。将一个质量为m、带电量为+q的粒子（重力不计）从P（－a，0）点由静止释放。由于x轴上存在一种特殊物质，使粒子每经过一次x轴后速度大小变为穿过前的倍。

（1）欲使粒子能够再次经过x轴，磁场的磁感应强度B₀最小是多少？
（2）在磁感应强度等于第（1）问中B₀的情况下，求粒子在磁场中的运动时间；
（3）若磁场的磁感应强度变为第（1）问中B₀的2倍，求粒子运动的总路程。

Answer 1

（1）（2）（3）

⑴设粒子到O点时的速度为v₀，由动能定理有
 解得（1分）
粒子经过O点后，速度为v₁，（1分）
如图甲所示，粒子进入磁场后的轨迹圆与磁场边界相切时，磁感应强度最小为B₀。设粒子轨道半径为R₁，有（1分）
由得  （2分）
⑵如图甲，粒子经O₁点进入电场区域做匀减速运动，后又加速返回，再次进入磁场时的速率（1分）
此时粒子做圆周运动的半径（1分）
其运动轨迹如图甲所示，此后不再进入磁场。由几何
关系可知，
则粒子在磁场中运动的时间为
（3分）
⑶若B=2B₀，粒子的运动情况如图乙所示，

粒子经过O
点第一次进入磁场时的速率仍为v₁，在磁场中做圆
周运动的半径记为，由第⑴问可知，，（1分）
粒子从O₁点穿过x轴进入电场时速率为，运动到P₁点后返回，则由动能定理
  解得 　（1分）
当粒子第二次进入磁场时的速率
做圆周运动的半径为　（1分）
粒子从O₂点穿过x轴进入电场时速率为，
运动到P₂点后返回，则由动能定理  
解得 　（1分）
…………
依此类推可知，当粒子第n次进入磁场时，其在磁场中做圆周运动的轨道半径为，再进入电场中前进的距离　（1分）
因此，粒子运动的总路程为
==　（1分）