Question

2．如图所示，一根长为L的细绳一端固定在倾角为θ的光滑斜面上，另一端系一个质量为m的小球，小球在斜面内做圆周运动，下列说法正确的是（　　）

• A． 小球的最小动能可能是0
• B． 小球的最大动能可能是2mgLsinθ
• C． 细绳的最大拉力可能是5mgsinθ
• D． 细绳的最大拉力与最小拉力的差值一定为6mgsinθ

Answer 1

分析 当小球恰好能在斜面上做完整的圆周运动时，通过圆周的最高点速度最小，此时拉力为零，靠重力沿斜面方向上的分力提供向心力，根据牛顿第二定律可求出小球的最小速度，小球在最低点时，速度最大，小球从最高点运动到最低点，绳子的拉力不做功，小球的机械能守恒，运用机械能守恒定律求解小球通过最低点时的最小速度，从而求出最低点的最小动能，小球通过最高点和最低点时，靠重力沿斜面方向上的分力和拉力的合力提供向心力，从而根据牛顿第二定律求出绳子的拉力，从而求出拉力差．

解答 解：A、当小球恰好能在斜面上做完整的圆周运动时，通过圆周的最高点速度最小，此时拉力为零，根据圆周运动和牛顿第二定律有：
  mgsinθ=m$\frac{{{v}_{1}}^{2}}{L}$
解得：${v}_{1}=\sqrt{gLsinθ}$，则小球的最小动能${E}_{Kmin}=\frac{1}{2}m{{v}_{1}}^{2}=\frac{1}{2}mgLsinθ$，故A错误；
B、球从最高点运动到最低点，绳子的拉力不做功，小球的机械能守恒，根据机械能守恒定律得：
$\frac{1}{2}m{{v}_{2}}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{1}}^{2}=mg•2lsinθ$
解得：${v}_{2}=\sqrt{5gLsinθ}$
则整个过程中，小球的最大动能最小为${E}_{K}=\frac{1}{2}m{{v}_{2}}^{2}=\frac{5}{2}mgLsinθ$，故B错误；
C、在最低点，绳子的拉力最大，当最低点速度取${v}_{2}=\sqrt{5gLsinθ}$时，绳子拉力取最大拉力的最小值，则有
$T-mgsinθ=m\frac{{{v}_{2}}^{2}}{L}$
解得：T=6mgsinθ，故C错误；
D、小球在最高点时，绳子的拉力最小，在最低点时，绳子的拉力最大，
设最高点的速度为v，最高点速度为v′，根据机械能守恒定律得：
$\frac{1}{2}mv{′}^{2}-\frac{1}{2}m{v}^{2}=mg•2lsinθ$①，
在最高点有：$mgsinθ-{T}_{1}=m\frac{{v}^{2}}{L}$②，
在最低点有：${T}_{2}-mgsinθ=m\frac{v{′}^{2}}{L}$③，
由①②③解得：
T₂-T₁=6mgsinθ，故D正确．
故选：D

点评 解决本题的关键搞清圆周运动向心力的来源，结合牛顿第二定律、机械能守恒定律进行求解，知道小球在最高点速度最小，最低点速度最大，且最高点和最低点速度也能根据机械能守恒定律求出关系，难度适中．