Question

电磁炉专用平底锅的锅底和锅壁均由耐高温绝缘材料制成.起加热作用的是安在锅底的一系列半径不同的同心导电环.导电环所用的材料单位长度的电阻R＝0.125π Ω/m，从中心向外第n个同心圆环的半径为r_n＝（2n-1）r₁（n为正整数且n≤7），已知r₁=1.0 cm.当电磁炉开启后，能产生垂直于锅底方向的变化磁场，已知该磁场的磁感应强度B的变化率为，忽略同心导电圆环电流之间的相互影响.

（1）求出半径为r_n的导电圆环中产生的感应电动势瞬时表达式；

（2）半径为r₁的导电圆环中感应电流的最大值I₁m是多大？（计算中可取π²=10）

（3）若不计其他损失，所有导电圆环的总功率P是多大？

Answer 1

（1）E_n=100π²(2n-1)²r₁²sinωt  (2)4 A  (3)1.9×10³ W

解析:

（1）根据法拉第电磁感应定律，半径为r_n的导电圆环中产生的感应电动势瞬时表达式为E_n=π²(2n-1)²r₁²sinωt．

（2）第一个环中的感应电动势的最大值为E_1m=100π²r₁²，第一个环的电阻R₁=0.125π×2πr₁，故第一个环中电流的最大值为I_1m==400r₁=A．

（3）第n环中的感应电动势的最大值为E_nm=100π²r_n²，第n环的电阻R_n=0.125π×2πr_n，故第n环中电流的最大值为I_nm=．

第n环中电流的有效值I_n=I_n²R_n=4×10⁴π²r_n³=4×10⁵r_n³，所有导电圆环的总功率为

P=4×10⁵(r₁³+r₂³+r₃³+…+r_n³)=4×10⁵×(1³+2³+3³+…+13³)×0.01³≈1.9×10³ W．