Question

【题目】学校组织趣味运动会，某科技小组为大家提供了一个寓教于乐的游戏.如图所示，磁性小球在铁质圆轨道外侧旋转而不脱落，好像轨道对它施加了魔性一样，小球旋转一周后在C点脱离轨道，投入左边内轨的某点上，已知竖直圆弧轨道由半径为2R的左半圆轨道AB和半径为R的右半圆轨道BC无缝对接，A、B点处于竖直线上，可看成质点、质量为m的小球沿轨道外侧做圆周运动，已知小球受轨道的磁性引力始终指向圆心且大小恒为F，不计摩擦和空气阻力，重力加速度为g。

(1)若小球在A点的速度为，求小球在该点对轨道的弹力；

(2)若磁性引力F可调整，要使小球能完成完整的圆周运动，求的最小值；

(3)若小球从最高点开始沿轨道外侧运动，最后从C点抛出落到左侧圆轨道上（球脱离轨道后与轨道的引力消失），问小球能否落在与右边小圆圆心等高处？如果不能，求出小球的落点与O点的最短竖直距离。

Answer 1

【答案】（1）F，方向竖直向下；（2）；（3）不能，

【解析】

（1）设在A点轨道对小球向上的弹力大小为FN，由牛顿第二定律得

代入数据得

FN=F

由牛顿第三定律得，小球在A点对轨道的弹力大小为F，方向竖直向下

（2）要使小球能完成完整的运动，只需在B点不脱轨即可。当vA=0时，到达B处速度最小，由动能定理得

当小球处于半径为R的轨道最低点B时，小球更容易脱落，则

所以

当FN=0时，磁性引力最小，故

（3）小球能沿轨道运动到C点，设vA=0，则从A到C的过程中有

得

若小球落到与右边小圆圆心等高处，设从C点以速度v0平拋，则竖直方向有

水平方向有

得水平速度

因为，故小球不可能落在与右边小圆圆心等高处，当时，落点与O点的竖直距离最近

水平方向有

竖直方向有

且

解得

故

小球的落点与O点的竖直距离最小为