Question

6．如图所示，V形转盘可绕竖直中心轴OO'转动，V形转盘的侧面与竖直转轴间的夹角均为α=53°．盘上放着质量为1kg的物块A，物块A用长为1m的细线系于转盘中心的O处，细线能承受的最大拉力为8N，A与转盘间的动摩擦因数μ为0.5，且可认为最大静摩擦力等于滑动摩擦力，在物块A与转盘一起转动的过程中，细线始终处于伸直状态．
（1）当物块A随转盘一起做匀速转动，且其所受的摩擦力为零时，转盘转动的角速度多大（结果可以保留根式）；
（2）为保证细线一直处于伸直状态，物块A跟随转盘一起匀速转动的角速度的范围（g取10m/s²）．

Answer 1

分析 （1）当物块A随转盘做匀速转动所受的摩擦力为零时，此时绳处于松弛状态，由支持力和重力的合力提供向心力，竖直方向由平衡条件列式，水平方向根据牛顿第二定律列式即可求解；
（2）当物块A所受摩擦力沿斜面向上，且等于最大静摩擦力时，物块转动的角速度最小．当物块A所受摩擦力沿斜面向下，且等于最大静摩擦力，绳子拉力达到最大值时，物块转动的角速度最大．竖直方向由平衡条件列式，水平方向根据牛顿第二定律列式即可求解角速度的最小值和最大值，即可得到角速度的范围．

解答 解：（1）当摩擦力为零时，物块只受重力和支持力，由题意，由牛顿第二定律可得：
${F_N}cos{37^o}=mg$…①
${F_N}sin{37^o}=m{ω^2}r$…②
又 r=lcos37°…③
所以：$ω=\frac{{5\sqrt{6}}}{4}rad/s$
（2）当物块A所受摩擦力沿斜面向上，且等于最大静摩擦力时，物块转动的角速度最小
由受力分析可得：
  ${F_N}sin{37^o}-fcos{37^o}=mω_1^2r$…④
  ${F_N}cos{37^o}+fsin{37^o}=mg$…⑤
又 f=μF_N …⑥
联立③④⑤⑥可得：${ω_1}=\sqrt{\frac{g}{{lcos{{37}^o}}}•\frac{{sin{{37}^o}-μcos{{37}^o}}}{{cos{{37}^o}+μsin{{37}^o}}}}=\frac{{5\sqrt{11}}}{11}$rad/s
当物块A所受摩擦力沿斜面向下，且等于最大静摩擦力，绳子拉力达到最大值时，物块转动的角速度最大
由受力分析可知：
  ${F_N}sin{37^o}+fcos{37^o}+Tcos{37^o}=mω_2^2r$…⑦
  ${F_N}cos{37^o}=mg+fsin{37^o}+Tsin{37^o}$…⑧
联立③⑥⑦⑧可得：${ω_2}=\sqrt{\frac{{mg+Tsin{{37}^o}}}{{mlcos{{37}^o}}}•\frac{{sin{{37}^o}+μcos{{37}^o}}}{{cos{{37}^o}-μsin{{37}^o}}}+\frac{T}{ml}}=3\sqrt{5}$rad/s
所以：$\frac{5\sqrt{11}}{11}$ rad/s≤ω≤$3\sqrt{5}$ rad/s
答：（1）转盘转动的角速度是$\frac{5\sqrt{6}}{4}$rad/s．
（2）物块A跟随转盘一起匀速转动的角速度的范围为：$\frac{5\sqrt{11}}{11}$ rad/s≤ω≤$3\sqrt{5}$ rad/s．

点评 本题的关键是能对物块进行受力分析，根据竖直方向由平衡条件列式及水平方向牛顿第二定律列式，并能根据最大静摩擦力的表达式分析．