Question

16．如下图，水平转盘上放有质量为m的物体（可视为质点），连接物体和转轴的绳子的长为r，物块与转盘间的最大静摩擦力是其压力的μ倍，转盘的角速度由零逐渐增大，试通过计算求：
（1）绳子对物体拉力为0时的最大角速度；
（2）当角速度为$\sqrt{\frac{μg}{2r}}$时，转盘对物体的摩擦力及绳子对物体拉力的大小；
（3）当角速度为$\sqrt{\frac{3μg}{2r}}$，转盘对物体的摩擦力及绳子对物体拉力的大小．

Answer 1

分析 （1）物块做圆周运动靠静摩擦力提供向心力，当静摩擦力达到最大时，角速度达到最大，根据牛顿第二定律求出转盘转动的最大角速度．
（2）（3）当角速度小于第（1）问中的最大角速度，知物块做圆周运动靠静摩擦力提供向心力，绳子拉力为零，当角速度大于第（1）问中的最大角速度，物块做圆周运动靠静摩擦力和拉力共同提供，根据牛顿第二定律求出细线的拉力大小．

解答 解：（1）当物块所需要的向心力等于最大静摩擦力时，转盘角速度最大     
即：μmg=m rω_m²     
则：ω_m=$\sqrt{\frac{μg}{r}}$．
（2）由于ω₁＜ω_m时仅由摩擦力可提供向心力，则细绳对物块的拉力T₁=0，摩擦力
f=m rω₁²=mr（${{{\sqrt{\frac{μg}{2r}}}^{\;}}^{\;}}^{\;}$）²=$\frac{1}{2}μmg$
（3）由于ω₂＞ω_m时摩擦力不足以提供向心力，摩擦力f=μmg，绳子也要提供部分向心力
则：T₂+μmg=m rω₂²      
解得：T₂=m rω₂^2_μmg=$\frac{1}{2}μmg$．
答：（1）若物块始终相对转盘静止，转盘转动的最大角速度是$\sqrt{\frac{μg}{r}}$．
（2）当当角速度为$\sqrt{\frac{μg}{2r}}$时，转盘对物体的摩擦力为$\frac{1}{2}μmg$，细线的拉力T₁=0；
（3）当角速度为$\sqrt{\frac{3μg}{2r}}$，转盘对物体的摩擦力时，摩擦力f=μmg，细线的拉力T₂=$\frac{1}{2}μmg$．

点评 解决本题的关键搞清向心力的来源，当物块所需要的向心力等于最大静摩擦力时，转盘角速度最大，根据此临界值判定受力情况，运用牛顿第二定律进行求解．