Question

如图，一倾角为θ=30°的足够长固定光滑斜面底端有一与斜面垂直的挡板M，物块A、B之间用一与斜面平行的轻质弹簧连接且静止在斜面上．现用外力沿斜面向下缓慢推动物块B，当弹簧具有5J的弹性势能时撤去推力，释放物块B．已知物块A、B的质量分别为5kg和10kg，弹簧的弹性势能的表达式为EP=

1

2

kx2，其中弹簧的劲度系数为k=1000N/m，x为弹簧的形变量，g=10m/s²．求
（1）撤掉外力时，物块B的加速度大小；
（2）外力在推动物块B的过程中所做的功；
（3）试判断物块A能否离开挡板M？若A能离开挡板M，求出物块A刚离开挡板M时，物块B的动能；若A不能离开挡板M，求出物块A与挡板M之间的最小作用力．

Answer 1

（1）弹簧具有的势能为E_P=5J，
EP=

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2

kx12=

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2

×1000x₁²=5，
解得，弹簧的压缩量：x₁=0.1m，
撤掉外力时，由牛顿第二定律得：
kx₁-m_Bgsinθ=m_Ba，
解得，物块B的加速度：a=5m/s²；
（2）物块B静止在斜面上时，
由平衡条件得：kx₀=m_Bgsinθ，
解得：x₀=0.05m，
外力推动物块B所做的功：
W=EP-

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2

kx02-mBgsinθ(x1-x0)，
代入数据解得：W=1.25J；
（3）假设物块A刚好离开挡板M，
弹簧的伸长量x₂kx₂=m_Agsinθ，
解得：x₂=0.025m，
此时弹簧的弹性势能和重力势能的增加量之和：
E=

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2

kx22+mBgsinθ(x1+x2)=6.5625J＞E_P=5J，
故物块A未离开挡板M．
设物块B上滑到速度为零时，弹簧的形变量为x₃
若弹簧处于压缩状态：EP=

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2

kx32+mBgsinθ(x1-x3)，
x₃₁=0，x₃₂=0.1m（不合理舍掉），
若弹簧处于伸长状态：EP=

1

2

kx32+mBgsinθ(x1+x3)
解得：x₃₁=0，x₃₂=-0.1m（不合理舍掉），
综上可得，物块B的速度为零时，弹簧恰好处于原长，
此时物块A对挡板的作用力最小，作用力F=m_Agsinθ=25N；
答：（1）撤掉外力时，物块B的加速度为5m/s²；
（2）外力在推动物块B的过程中所做的功为1.25J；
（3）物块A不能离开挡板M；物块A与挡板M之间的最小作用力为25N．