Question

2．双星系统中两个星球A、B的质量都是m，A、B相距L，它们正围绕两者连线上某一点做匀速圆周运动．实际观测该系统的周期T要小于按照力学理论计算出的周期理论值T₀，且$\frac{T}{{T}_{0}}$=k（k＜1），于是有人猜测这可能是受到了一颗未发现的星球C的影响，并认为C位于双星A．B的连线正中间，相对A、B静止，求：
（1）两个星球A．B组成的双星系统周期理论值T₀；
（2）星球C的质量．

Answer 1

分析 （1）双星绕两者连线的中点做圆周运动，由相互之间万有引力提供向心力，根据牛顿第二定律求解运动周期．
（2）假定在以这两个星体连线为直径的球体内均匀分布着暗物质，由暗物质对双星的作用与双星之间的万有引力的合力提供双星的向心力，由此可以得到双星运行的角速度，进而得到周期T₂，联合第一问的结果可得周期之比．

解答 解：（1）两星的角速度相同，根据万有引力充当向心力知：$\frac{Gmm}{{L}^{2}}$=mr₁${ω}_{1}^{2}$=mr₂${ω}_{1}^{2}$
可得：r₁=r₂…①
两星绕连线的中点转动，则有：$\frac{Gmm}{{L}^{2}}$=m$\frac{L}{2}$${ω}_{1}^{2}$
解得ω₁=$\sqrt{\frac{2Gm}{{L}^{3}}}$…②
所以 T₀=$\frac{2π}{{ω}_{1}}$=2π $\sqrt{\frac{{L}^{3}}{2Gm}}$…③
（2）由于C的存在，双星的向心力由两个力的合力提供，则
$\frac{Gmm}{{L}^{2}}$+G$\frac{Mm}{{（\frac{L}{2}）}^{2}}$=m•$\frac{1}{2}$L•${ω}_{2}^{2}$…④
T=$\frac{2π}{{ω}_{2}}$=kT₀…⑤
解③④⑤式得：M=$\frac{（{1-k}^{2}）m}{{4k}^{2}}$
答：（1）两个星体A、B组成的双星系统周期理论值2π $\sqrt{\frac{{L}^{3}}{2Gm}}$
（2）星体C的质量是$\frac{（{1-k}^{2}）m}{{4k}^{2}}$

点评 本题是双星问题，要抓住双星系统的条件：角速度与周期相同，再由万有引力充当向心力进行列式计算即可．