Question

已知某星球半径为R，若宇航员随登陆舱登陆该星球后，在此星球表面某处以速度竖直向上抛出一个小球，小球能上升的最大高度为H，则（不考虑地球自转的影响）。
（1）此星球表面的重力加速度
（2）试根据以上条件推导第一宇宙速度v₁的表达式；
（3）若在登陆前，宇宙飞船绕该星球做匀速圆周运动，运行轨道距离星球表面高度为h，求卫星的运行周期T。

Answer 1

（1）（2）（3）

（1）依题意，易得，该星球表面的重力加速度为     ① （2分）
（2）地球第一宇宙速度即卫星环绕地球的最大运行速度，设卫星的质量为m，地球的质量为M
在地球表面附近满足     得         ②    （2分）
卫星做圆周运动的向心力等于它受到的万有引力    ③  （2分）   
由①②③式，得到      （1分）
（2）对卫星分析，得到      ④    （2分）
联立①②④解得      （1分）