Question

一质量M=2kg的长木板B静止在光滑的水平面上，B的右端与竖直挡板的距离为S=0.5m．一个质量为m=1kg的小物体A以初速度v₀=6m/s从B的左端水平滑上B，当B与竖直挡板每次碰撞时，A都没有到达B的右端．
设定物体A可视为质点，A、B间的动摩擦因数μ=0.2，B与竖直挡板碰撞时间极短且碰撞过程中无机械能损失，g取10m/s²．求：
（1）B与竖直挡板第一次碰撞前的瞬间，A、B的速度值各是多少？
（2）最后要使A不从B上滑下，木板B的长度至少是多少？（最后结果保留三位有效数字．）

Answer 1

分析：（1）A在B上滑动时，以AB整体为研究对象可知，AB组成的系统动量守恒，由此可以求出AB速度相等时的速度；对B，运用动能定理可求出此过程滑行的位移，即可判断出B与挡板碰撞时，A、B还未达到共同速度．再对系统运用动量守恒和对B运用动能定理分别列式，即可求得B与竖直挡板第一次碰撞前的瞬间A、B的速度值．
（2）B与挡板第一次碰后向左减速运动，由动能定理可求得向左运动的最大距离．在A的作用下B再次反向向右运动，可达到共同速度，由系统的动量守恒求出共同速度．当B第二次与挡板碰撞后，B的速度立即反向，而A将继续向右运动，此后由于系统的总动量向左，最后A、B将以共同速度v₃向左匀速运动．再运用动量守恒和能量守恒求出A在B上运动的总路程，就是木板B最小的长度．

解答：解：（1）设A、B达到共同速度为v₁时，B向右运动距离为S₁
由动量守恒定律有：mv₀=（M+m）v₁
由动能定理有：μmgS1=

1

2

M

v

2 1

联立解得：S₁=

1 2 ?M?( mv0 M+m )2

μmg

=

1 2 ×2×( 1×6 1+2 )2

0.2×1×10

m=2m                                            
由于S=0.5m＜2m，可知B与挡板碰撞时，A、B还未达到共同速度．设B与挡板碰撞前瞬间A的速度为v_A，B的速度为v_B，则
由动量守恒定律有：mv₀=mv_A+Mv_B
由动能定理有：μmgS=

1

2

M

v

2 B

联立解得：v_A=4m/s、v_B=1m/s                                 
（2）B与挡板第一次碰后向左减速运动，当B速度减为零时，B向左运动的距离设为S_B，由动能定理有：μmgSB=

1

2

M

v

2 B

由上式解得：S_B=0.5m                                         
在A的作用下B再次反向向右运动，设当A、B向右运动达到共同速度v₂时B向右运动距离为S₂，由动量守恒定律有：mv_A-Mv_B=（M+m）v₂
由动能定理有：μmgS2=

1

2

M

v

2 2

解得：v2=

2

3

m/s、S2=

2

9

m＜SB
故A、B以共同速度

2

3

m/s向右运动，B第二次与挡板碰撞后，以原速率反弹向左运动．此后由于系统的总动量向左，故最后A、B将以共同速度v₃向左匀速运动．
由动量守恒定律有：（M-m）v₂=（M+m）v₃                           
解得：v3=

2

9

m/s
设A在B上运动的总量程为L（即木板B的最小长度），由系统功能关系得：μmgL=

1

2

m

v

2 0

-

1

2

(M+m)

v

2 3

代入数据解得：L=8.96m         
答：
（1）B与竖直挡板第一次碰撞前的瞬间，A、B的速度值分别是4m/s、1m/s．
（2）最后要使A不从B上滑下，木板B的长度至少是8.96m．

点评：解决本题的关键是A与B组成的系统在碰撞过程中满足动量守恒，B在运动过程中遵循牛顿第二定律，A在B上滑动时，A相对于B滑动的位移为相对位移，摩擦力在相对位移上做的功等于系统机械能的损耗．