Question

两块足够大的平行金属极板水平放置，极板间加有空间分布均匀、大小随时间周期性变化的电场和磁场，变化规律分别如图l、图2所示（规定垂直纸面向里为磁感应强度的正方向）。在t=0时刻由负极板释放一个初速度为零的带负电的粒子（不计重力）。若电场强度E₀、磁感应强度B₀、粒子的比荷均已知，且，两板间距.

（1）求粒子在0～t₀时间内的位移大小与极板间距h的比值。

（2）求粒子在极板间做圆周运动的最大半径（用h表示）。

（3）若板间电场强度E随时间的变化仍如图1所示，磁场的变化改为如图3所示，试画出粒子在板间运动的轨迹图（不必写计算过程）。

Answer 1

解法一：

（1）设粒子在0-t₀时间内运动的位移大小为s₁

         ①

           ②

又已知

联立①②式解得

        ③

（2）粒子在t₀-2t₀时间内只受洛伦兹力作用，且速度与磁场方向垂直，所以粒子作匀速圆周运动。设运动速度大小为v₁轨道半径为R₁,周期为T，则

           ④

      ⑤

    联立④⑤式得

           ⑥

    又    ⑦

即粒子在t₀-2t₀时间内恰好完成一个周期的圆周运动。在2t₀-3 t₀时间内，粒子做初速度为v₁的匀加速直线运动，设位移大小为s₂

       ⑧

解得      ⑨

由于s₁+s₂<h，所以粒子在3t₀-4t₀时间内继续做匀速圆周运动，

设速度大小为v₂,半径为R₂

          ⑩

         

    解得          

由于s₁+s₂+R₂<h，粒子恰好又完成一个周期的圆周运动，在4t₀-5t₀时间内，粒子运动到正极板（如图1所示）。因此粒子运动的最大半径。

（3）粒子在板间运动的轨迹如图2所示。

解法二：

由题意可知，电磁场的周期为2t₀，前半周期粒子受电场作用做匀加速直线运动，加速度大小为

             方向向上

后半周期粒子受磁场作用做匀速圆周运动，周期为T

粒子恰好完成一次匀速圆周运动。至第n个周期末，粒子位移大小为

又已知   

由以上各式得   

粒子速度大小为  

粒子做圆周运动的半径为  

解得   

显然    

（1）粒子在0时间内的位移大小与极板间距h的比值 

（2）粒子在极板间做圆周运动的最大半径  

（3）粒子在板间运动得轨迹图见解法一中的图2。