Question

13．如图所示，在光滑的水平地面上的左端连接一光滑的半径为R的$\frac{1}{4}$圆形固定轨道，并且水平面与圆形轨道相切，在水平面内有一质量M=3m的小球Q连接着轻质弹簧处于静止状态，现有一质量为m的小球P从B点正上方h=2R高处由静止释放，小球P和小球Q大小相同，均可视为质点，重力加速度为g．
（1）求小球P到达圆心轨道最低点C时的速度大小和对轨道的压力；
（2）求在小球P压缩弹簧的过程中，弹簧具有的最大弹性势能；
（3）若小球P从B点上方高H处释放，恰好使P球经弹簧反弹后能够回到B点，求高度H的大小．

Answer 1

分析 （1）小球P从A运动到C的过程，根据机械能守恒定律求解P到达C点时的速度．P在最低点C处时，由合力提供向心力，根据牛顿第二定律和牛顿第三定律求解小球P对轨道的压力；
（2）在弹簧被压缩过程中，当两球速度相等时，弹簧具有最大弹性势能，根据系统动量守恒和机械能守恒定律列式求解；
（3）小球P从B上方高H处释放，根据动能定理求出到达水平面的速度，弹簧被压缩后再次恢复到原长得过程中，根据动量守恒定律以及机械能守恒定律列式，P球经弹簧反弹后恰好回到B点得过程中，根据动能定理列式，联立方程求解．

解答 解：（1）小球P从A运动到C的过程，根据机械能守恒得：
mg（h+R）=$\frac{1}{2}$mv_C²
又 h=2R，
解得：v_C=$\sqrt{6gR}$
在最低点C处，根据牛顿第二定律得：
F_N-mg=m$\frac{{v}_{C}^{2}}{R}$
解得：F_N=7mg，
根据牛顿第三定律可知，小球P对轨道的压力大小为7mg，方向竖直向下．
（2）弹簧被压缩过程中，当两球速度相等时，弹簧具有最大弹性势能，以向右为正，根据系统动量守恒得：
mv_C=（m+M）v，
根据机械能守恒定律得：
$\frac{1}{2}$mv_C²=E_Pm+$\frac{1}{2}$（m+M）v²．
联立解得：E_Pm=$\frac{9}{4}$mgR
（3）设小球P从B上方高H处释放，到达水平面速度为v₀，由机械能守恒定律得：
mg（H+R）=$\frac{1}{2}$mv₀²．
弹簧被压缩后再次恢复到原长时，设小球P和Q的速度大小分别为v₁和v₂，根据动量守恒定律有：
mv₀=-mv₁+Mv₂
根据机械能守恒定律有：
$\frac{1}{2}$mv₀²=$\frac{1}{2}$mv₁²+$\frac{1}{2}$Mv₂²
要使P球经弹簧反弹后恰好回到B点，则有：
mgR=$\frac{1}{2}$mv₁²．
联立解得：H=3R
答：（1）小球P到达圆形轨道最低点C时的速度大小为$\sqrt{6gR}$，对轨道的压力大小为7mg，方向竖直向下；
（2）在小球P压缩弹簧的过程中，弹簧具有的最大弹性势能为$\frac{9}{4}$mgR；
（3）若球P从B上方高H处释放，恰好使P球经弹簧反弹后能够回到B点，则高度H的大小为3R．

点评 本题主要考查了动量守恒定律、机械能守恒定律以及动能定理的直接应用，注意在应用动量守恒定律解题时要规定正方向，注意使用动能定理解题时要选好研究过程．