Question

如图所示，圆管构成的半圆形竖直轨道固定在水平地面上，轨道半径为R，MN为直径且与水平面垂直，直径略小于圆管内径的小球A以某一初速度冲进轨道，到达半圆轨道最高点M时与静止于该处的质量与A相同的小球B发生碰撞，碰后两球粘在一起飞出轨道，落地点距N为2R．已知小球质量为m，重力加速度为g，忽略圆管内径，两小球可视为质点，空气阻力及各处摩擦均不计，求：
（1）粘合后的两球从飞出轨道时的速度v；
（2）碰撞前瞬间，小球A对圆管的力；
（3）小球A冲进轨道时速度v_A的大小．

Answer 1

分析：（1）粘合后的两球飞出轨道后做平抛运动，根据高度2R和水平距离2R求出速度v．
（2）根据动量守恒定律求出碰撞前瞬间小球A的速度．碰撞前由重力和轨道的支持力提供A的向心力，由牛顿第二定律求出轨道的支持力，由牛顿第三定律求解小球A对圆管的压力．
（3）小球A冲进轨道过程中，只有重力做功，其机械能守恒，由机械能守恒定律求出小球A冲进轨道时速度v_A的大小．

解答：解：（1）粘合后的两球飞出轨道后做平抛运动，则有：2R=

1

2

gt2
解得：t=2

R g

平抛运动的初速度为：v=

2R

t

=

gR

（2）根据动量守恒，两球碰撞过程有：
    mv₁=2mv
碰前对A有：N+mg=m

v12

R

解得：N=3mg
根据牛顿第三定律，小球A对圆管的压力大小为3mg，方向竖直向上．   
（3）小球A在圆管内运动过程，机械能守恒：

1

2

mv2=

1

2

mv12+mg2R
解得：v=2

2gR

答：
（1）粘合后的两球从飞出轨道时的速度v=

gR

；
（2）碰撞前瞬间，小球A对圆管的力为3mg；
（3）小球A冲进轨道时速度v_A的大小为2

2gR

．

点评：本题是平抛运动，动量守恒和机械能守恒定律等知识的综合应用，按程序法进行分析，要抓住两个过程间速度的关系．