题目内容

如图所示,圆管构成的半圆形竖直轨道固定在水平地面上,轨道半径R为5m,MN为直径且与水平面垂直,直径略小于圆管内径的小球A以某一初速度V0从N点冲进轨道,到达半圆轨道最高点M时与静止于该处的质量与A相同的小球B发生弹性碰撞,碰后A、B两球交换速度,B球水平飞出轨道,落地点距N点距离为10m;A球从最高点初速度为零沿原路返回,水平地面的动摩擦系数μ为0.5.重力加速度g取10m/s2,忽略圆管内径,空气阻力及圆管内部摩擦不计,求:
(1)B球从水平飞出轨道到落地的时间;
(2)小球A冲进轨道时初速度V0的大小;
(3)A、B两球最终在水平面上的距离(设B球落地后不再运动).
分析:(1)B球飞出轨道后做平抛运动,竖直方向分运动为自由落体运动,下落的高度为h=2R,由h=
1
2
gt2
求解平抛运动的时间.
(2)B球平抛运动的水平距离为SB=10m,由SB=vBt可求出B的初速度大小.由于碰撞过程交换速度,则知碰撞前A球的速度大小.小球A从最低点到最高点过程中,只有重力做功,其机械能守恒,即可求解球A冲进轨道时初速度v0的大小.
(3)小球A从最高点滑到N点的过程,由机械能守恒定律求得滑到N点的速度大小.由动能定理求出A在水平面上滑行的距离,即可求出A、B两球最终在水平面上的距离.
解答:解:(1)B球飞出轨道后做平抛运动,竖直方向分运动为自由落体运动,有:
   2R=
1
2
gt2,解得t=2
R
g
=
2
s
(2)设球A的质量为m,A碰B前速度大小为VA,把球A冲进轨道最低点位置的重力势能定为0,由机械能守恒定律知
 
1
2
mV02=
1
2
mVA2+mg?2R
B球飞出轨道后做平抛运动,水平方向分运动为匀速直线运动,设B球速度为VB,有SB=VBt=VAt,得
  VA=
gR
=5
2
m/s,
则:V0=
5gR
=5
10
m/s
(3)A球再次经N点向右滑出,
1
2
mVA22=mg?2R,得速度为VA2=
4gR
=10
2
m/s
A球在水平面滑行过程,由动能定理得
-μmgSA=0-
1
2
mVA22
解得SA=
VA22
2μg
=
2R
μ
=20m,
A向右运动碰撞原来静止的B球,则A、B两球速度交换,A停在原B球的位置不动,B球以A球的速度继续前进,最终静止.
则A、B间距为SA-SB=10m.
答:
(1)B球从水平飞出轨道到落地的时间是
2
s;
(2)小球A冲进轨道时初速度V0的大小是5
10
m/s;
(3)A、B两球最终在水平面上的距离是10m.
点评:本题涉及多个过程,分析小球的运动过程,把握运动的规律是关键,实质是机械能守恒定律与平抛运动、动能定理等等知识的综合应用.
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