题目内容
（2006?福建模拟）如图所示，一带负电的质点从x轴上的A点以恒定的速率υ沿与x轴成30°角的方向进入匀强磁场，在xoy平面内运动到达x轴上的B点，其轨迹如图所示，图中x轴上方的轨迹都是半径为R的圆弧，下方都是半径为r的圆弧，R＞r，从A点到达B点时，一共经过x轴2N次（不含出发点A，N为正整数），不计质点的重力．求：
（1）试尽可能完整地描述磁场的分布情况；
（2）此质点沿x轴方向由A运动到B的平均速度的大小．
（1）试尽可能完整地描述磁场的分布情况；
（2）此质点沿x轴方向由A运动到B的平均速度的大小．
分析：（1）根据带负电质点运动轨迹和速度方向，由左手定则可以判断磁场方向，结合洛伦兹力提供向心力可求得x轴上方的磁感应强度和x轴下方的磁感应强度的大小关系；
（2）由图可以判断质点在x轴上方运动了N个
圆弧，在x轴下方运动了N个
圆弧，从而可以求得质点运动的总位移和总时间，利用平均速度的定义求解．
（2）由图可以判断质点在x轴上方运动了N个
| 1 |
| 6 |
| 5 |
| 6 |
解答：解：（1）根据带负电质点运动轨迹和速度方向，由左手定则判断，可知x轴上、下方磁场方向均垂直xOy平面，沿着z轴的负方向．
设质点的质量为m、电荷量为q、在x轴上方和x轴下方的磁感应强度分别为B1、B2，由洛伦兹力公式及牛顿运动定律，有
qυB1=
①
qυB2=
②
解得：
=
③
即x轴上方的磁感应强度是x轴下方的磁感应强度
倍；
（2）由A到B，带电质点在x轴上方运动了N个
圆弧，在x轴下方运动了N个
圆弧
则其位移：x1=N?2Rsin30°=NR，x2=N?2rsin30°=Nr
△x=N?（R-r） ④
其所经历的时间△t=N?
⑤
带电质点在x轴上方运动的时间 t1=N?
带电质点在x轴下方运动的时间 t2=N?
⑥
T1=
，T2=
⑦
△t=t1+t2=
⑧
所以沿x方向运动的平均速度为：
=
=
答：（1）x轴上、下方磁场方向均垂直xOy平面，沿着z轴的负方向．x轴上方的磁感应强度是x轴下方的磁感应强度
倍；
（2）质点沿x轴方向由A运动到B的平均速度的大小为
．
设质点的质量为m、电荷量为q、在x轴上方和x轴下方的磁感应强度分别为B1、B2，由洛伦兹力公式及牛顿运动定律，有
qυB1=
| mv2 |
| R |
qυB2=
| mv2 |
| r |
解得：
| B1 |
| B2 |
| r |
| R |
即x轴上方的磁感应强度是x轴下方的磁感应强度
| r |
| R |
（2）由A到B，带电质点在x轴上方运动了N个
| 1 |
| 6 |
| 5 |
| 6 |
则其位移：x1=N?2Rsin30°=NR，x2=N?2rsin30°=Nr
△x=N?（R-r） ④
其所经历的时间△t=N?
| π(R+r) |
| v |
带电质点在x轴上方运动的时间 t1=N?
| T1 |
| 6 |
带电质点在x轴下方运动的时间 t2=N?
| 5T2 |
| 6 |
T1=
| 2πR |
| v |
| 2πr |
| v |
△t=t1+t2=
| Nπ(R+5r) |
| 3v |
所以沿x方向运动的平均速度为：
. |
| v |
| △x |
| △t |
| 3v(R-r) |
| π(R+5r) |
答：（1）x轴上、下方磁场方向均垂直xOy平面，沿着z轴的负方向．x轴上方的磁感应强度是x轴下方的磁感应强度
| r |
| R |
（2）质点沿x轴方向由A运动到B的平均速度的大小为
| 3v(R-r) |
| π(R+5r) |
点评：本题主要考查了平均速度的定义，知道平均速度等于总位移除以总时间．
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