Question

4．在绝缘的光滑水平桌面上，有三个带电小球A、B、C，带电量均为Q（正电），每个小球的质量均为m，各自位置分别位于边长为L的等边三角形的三个顶点，如图所示．假设本题中的带电小球均被视为点电荷，不计彼此间的万有引力作用．
（1）在三角形的中心O点应放置一个带何种带电性质、多少电量的带电小球，才能使四个小球都能静止？
（2）若中心电荷的带电量在（1）问基础上增加到原来的4倍，为了保持外围三个小球的相对位置不变，需让它们围绕中心电荷同时旋转起来，求它们旋转的线速度大小．

Answer 1

分析 （1）根据几何关系解出中心O点到三角形顶点的距离，每一个带电小球都处于静止状态，不妨研究A球，A球受力平衡，BC两球的对A是库仑斥力，O点的电荷2对A是库仑引力，列方程化简即可．
（2）若中心电荷带电荷量在（1）问基础上增加到原来的4倍，仍然研究A球，先求出A球受到的合力，再根据牛顿第二定律计算线速度．

解答 解：（1）由几何关系知：r=|AO|=$\frac{\frac{L}{2}}{cos30°}$L=$\frac{\sqrt{3}}{3}$L，A球受到BC两个正电荷的排斥力，合力的方向由O点指向A点；A受力平衡，则有：
F₂=$\frac{kQq}{{r}^{2}}$=F₁=2Fcos 30°   
其中F=$\frac{k{Q}^{2}}{{L}^{2}}$，
所以q=$\frac{\sqrt{3}}{3}$Q，由F₂的方向知q带负电．
（2）当q′=4q时，F₂′=4F₂   
A球的合力F_合=F₂′-F₁=4F₂-F₁=3F₁=$\frac{3\sqrt{3}k{Q}^{2}}{{L}^{2}}$；
由牛顿第二定律：$\frac{3\sqrt{3}k{Q}^{2}}{{L}^{2}}$=$\frac{m{v}^{2}}{r}$．
代入数据联立得：v=$\sqrt{\frac{3k{Q}^{2}}{mL}}$
答：（1）在三角形的中心应放置负电荷，电荷量为$\frac{\sqrt{3}}{3}$Q．
（2）它们旋转的线速度大小为$\sqrt{\frac{3k{Q}^{2}}{mL}}$．

点评 本题关键是要能正确的选择研究对象，由于三个小球均处于静止状态，以其中一个球为研究对象根据平衡条件得出中心O点的电荷量，根据受力方向判断电荷的正负．